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1-sin(x)=3cos(x)

Solución

1 - sin (x) = 3 cos (x)

Solución

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = - 0.92729 \dots + 2 πn

Grados

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 53.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

1 - sin (x) = 3 cos (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(1 - sin (x))^{2} = (3 cos (x))^{2}

Restar

(3 cos (x))^{2}

de ambos lados

(1 - sin (x))^{2} - 9 cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

(1 - sin (x))^{2} - 9 cos^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 - sin (x))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (x))

Simplificar

(1 - sin (x))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (x)) : 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 8

(1 - sin (x))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (x))

(1 - sin (x))^{2} : 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Simplificar

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x) : 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 9 (1 - sin^{2} (x))

Expandir

- 9 (1 - sin^{2} (x)) : - 9 + 9 sin^{2} (x)

- 9 (1 - sin^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 9, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 9 \cdot 1 - (- 9) sin^{2} (x)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 9 \cdot 1 + 9 sin^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

9 \cdot 1 = 9

= - 9 + 9 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 9 + 9 sin^{2} (x)

Simplificar

1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 9 + 9 sin^{2} (x) : 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 8

1 - 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 9 + 9 sin^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= - 2 sin (x) + sin^{2} (x) + 9 sin^{2} (x) + 1 - 9

Sumar elementos similares:

sin^{2} (x) + 9 sin^{2} (x) = 10 sin^{2} (x)

= - 2 sin (x) + 10 sin^{2} (x) + 1 - 9

Sumar/restar lo siguiente:

1 - 9 = - 8

= 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 8

= 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 8

= 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 8

- 8 + 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 8 + 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

- 8 + 10 u^{2} - 2 u = 0

- 8 + 10 u^{2} - 2 u = 0 : u = 1, u = - \frac{4}{5}

- 8 + 10 u^{2} - 2 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

10 u^{2} - 2 u - 8 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

10 u^{2} - 2 u - 8 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 10, b = - 2, c = - 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 8 )}{2 \cdot 10}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 8 )}{2 \cdot 10}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 10 (- 8) = 18

(- 2)^{2} - 4 \cdot 10 (- 8)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 8

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 8

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 10 \cdot 8 = 320

= 2^{2} + 320

2^{2} = 4

= 4 + 320

Sumar:

4 + 320 = 324

= 324

Descomponer el número en factores primos:

324 = 1 8^{2}

= 1 8^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 8^{2} = 18

= 18

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 18}{2 \cdot 10}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 18}{2 \cdot 10}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 18}{2 \cdot 10}

u = \frac{- ( - 2 ) + 18}{2 \cdot 10} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 18}{2 \cdot 10}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 + 18}{2 \cdot 10}

Sumar:

2 + 18 = 20

= \frac{20}{2 \cdot 10}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{20}{20}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 18}{2 \cdot 10} : - \frac{4}{5}

\frac{- ( - 2 ) - 18}{2 \cdot 10}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 - 18}{2 \cdot 10}

Restar:

2 - 18 = - 16

= \frac{- 16}{2 \cdot 10}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 16}{20}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16}{20}

Eliminar los terminos comunes:

4

= - \frac{4}{5}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 1, u = - \frac{4}{5}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{4}{5}

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{4}{5}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluciones generales para

sin (x) = 1

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{4}{5} : x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{4}{5}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = - \frac{4}{5}

Soluciones generales para

sin (x) = - \frac{4}{5}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

1 - sin (x) = 3 cos (x)

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

\frac{π}{2} + 2 πn :

Verdadero

\frac{π}{2} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Multiplicar

1 - sin (x) = 3 cos (x)

por

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

1 - sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 3 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1)

Simplificar

0 = 0

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn :

Verdadero

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

Multiplicar

1 - sin (x) = 3 cos (x)

por

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

1 - sin (arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1) = 3 cos (arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1)

Simplificar

1.8 = 1.8

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Falso

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Multiplicar

1 - sin (x) = 3 cos (x)

por

x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

1 - sin (π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 3 cos (π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1)

Simplificar

1.8 = - 1.8

\Rightarrow Falso

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = - 0.92729 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

tan(a)= 8/5

tan (a) = \frac{8}{5}

2cos^2(x)-7cos(x)+3=0,(0,2pi)

2 cos^{2} (x) - 7 cos (x) + 3 = 0, (0, 2 π)

cos^2(x)-3sin^2(x)-1=0

cos^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) - 1 = 0

tanh(x)+4sech(x)=4

tanh (x) + 4 sech (x) = 4

36/49+cos^2(θ)=1

\frac{36}{49} + cos^{2} (θ) = 1