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5sin^2(x)+10sin(x)+2=0

Solución

5 sin^{2} (x) + 10 sin (x) + 2 = 0

Solución

x = - 0.22735 \dots + 2 πn, x = π + 0.22735 \dots + 2 πn

Grados

x = - 13.02659 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 193.02659 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

5 sin^{2} (x) + 10 sin (x) + 2 = 0

Usando el método de sustitución

5 sin^{2} (x) + 10 sin (x) + 2 = 0

Sea:

sin (x) = u

5 u^{2} + 10 u + 2 = 0

5 u^{2} + 10 u + 2 = 0 : u = \frac{- 5 + 15}{5}, u = - \frac{5 + 15}{5}

5 u^{2} + 10 u + 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

5 u^{2} + 10 u + 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 5, b = 10, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 10 \pm 1 0 ^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 2}{2 \cdot 5}

u_{1, 2} = \frac{- 10 \pm 1 0 ^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 2}{2 \cdot 5}

1 0^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 215

1 0^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 5 \cdot 2 = 40

= 1 0^{2} - 40

1 0^{2} = 100

= 100 - 40

Restar:

100 - 40 = 60

= 60

Descomposición en factores primos de

60 : 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

60

60

divida por

260 = 30 \cdot 2

= 2 \cdot 30

30

divida por

230 = 15 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 15

15

divida por

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2^{2} 3 \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2 3 \cdot 5

Simplificar

= 215

u_{1, 2} = \frac{- 10 \pm 2 15}{2 \cdot 5}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 10 + 2 15}{2 \cdot 5}, u_{2} = \frac{- 10 - 2 15}{2 \cdot 5}

u = \frac{- 10 + 2 15}{2 \cdot 5} : \frac{- 5 + 15}{5}

\frac{- 10 + 2 15}{2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 10 + 2 15}{10}

Factorizar

- 10 + 215 : 2 (- 5 + 15)

- 10 + 215

Reescribir como

= - 2 \cdot 5 + 215

Factorizar el termino común

2

= 2 (- 5 + 15)

= \frac{2 ( - 5 + 15 )}{10}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{- 5 + 15}{5}

u = \frac{- 10 - 2 15}{2 \cdot 5} : - \frac{5 + 15}{5}

\frac{- 10 - 2 15}{2 \cdot 5}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 10 - 2 15}{10}

Factorizar

- 10 - 215 : - 2 (5 + 15)

- 10 - 215

Reescribir como

= - 2 \cdot 5 - 215

Factorizar el termino común

2

= - 2 (5 + 15)

= - \frac{2 ( 5 + 15 )}{10}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{5 + 15}{5}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{- 5 + 15}{5}, u = - \frac{5 + 15}{5}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = \frac{- 5 + 15}{5}, sin (x) = - \frac{5 + 15}{5}

sin (x) = \frac{- 5 + 15}{5}, sin (x) = - \frac{5 + 15}{5}

sin (x) = \frac{- 5 + 15}{5} : x = arcsin (\frac{- 5 + 15}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{- 5 + 15}{5}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 5 + 15}{5}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{- 5 + 15}{5}

Soluciones generales para

sin (x) = \frac{- 5 + 15}{5}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 5 + 15}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{- 5 + 15}{5}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 5 + 15}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{- 5 + 15}{5}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{5 + 15}{5} :

Sin solución

sin (x) = - \frac{5 + 15}{5}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = arcsin (\frac{- 5 + 15}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{- 5 + 15}{5}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = - 0.22735 \dots + 2 πn, x = π + 0.22735 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

tan(x)= 5/(5.1)

tan (x) = \frac{5}{5.1}

(sin(x))/(120)=(sin(60))/(300)

\frac{sin ( x )}{120} = \frac{sin ( 6 0 ^{\circ} )}{300}

8sin(θ)+15cos(θ)=0

8 sin (θ) + 15 cos (θ) = 0

sin(t)= 3/7

sin (t) = \frac{3}{7}

cos(2x-1)=sin(3x+6)

cos (2 x - 1) = sin (3 x + 6)