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3cos^2(x)-2sqrt(3)cos(x)=sin^2(x)

Solución

3 cos^{2} (x) - 23 cos (x) = sin^{2} (x)

Solución

x = 1.80125 \dots + 2 πn, x = - 1.80125 \dots + 2 πn

Grados

x = 103.20437 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 103.20437 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

3 cos^{2} (x) - 23 cos (x) = sin^{2} (x)

Restar

sin^{2} (x)

de ambos lados

3 cos^{2} (x) - 23 cos (x) - sin^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- sin^{2} (x) + 3 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 3

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - (1 - cos^{2} (x)) + 3 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 3

Simplificar

- (1 - cos^{2} (x)) + 3 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 3 : - 1 + 4 cos^{2} (x) - 23 cos (x)

- (1 - cos^{2} (x)) + 3 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 3

= - (1 - cos^{2} (x)) + 3 cos^{2} (x) - 23 cos (x)

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= - 1 + cos^{2} (x) + 3 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 3

Sumar elementos similares:

cos^{2} (x) + 3 cos^{2} (x) = 4 cos^{2} (x)

= - 1 + 4 cos^{2} (x) - 23 cos (x)

= - 1 + 4 cos^{2} (x) - 23 cos (x)

- 1 + 4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 3 = 0

Usando el método de sustitución

- 1 + 4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 3 = 0

Sea:

cos (x) = u

- 1 + 4 u^{2} - 2 u 3 = 0

- 1 + 4 u^{2} - 2 u 3 = 0 : u = \frac{3 + 7}{4}, u = \frac{3 - 7}{4}

- 1 + 4 u^{2} - 2 u 3 = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 23 u - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

4 u^{2} - 23 u - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 4, b = - 23, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm ( - 2 3 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm ( - 2 3 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

(- 23)^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 27

(- 23)^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 23)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

(- 23)^{2} = 2^{2} \cdot 3

(- 23)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 23)^{2} = (23)^{2}

= (23)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (3)^{2}

(3)^{2} : 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 3

= 2^{2} \cdot 3

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 16

= 2^{2} \cdot 3 + 16

2^{2} \cdot 3 = 12

2^{2} \cdot 3

2^{2} = 4

= 4 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 3 = 12

= 12

= 12 + 16

Sumar:

12 + 16 = 28

= 28

Descomposición en factores primos de

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

divida por

228 = 14 \cdot 2

= 2 \cdot 14

14

divida por

214 = 7 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 7 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 27

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm 2 7}{2 \cdot 4}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 3 ) + 2 7}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 2 3 ) - 2 7}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 2 3 ) + 2 7}{2 \cdot 4} : \frac{3 + 7}{4}

\frac{- ( - 2 3 ) + 2 7}{2 \cdot 4}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 3 + 2 7}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 3 + 2 7}{8}

Factorizar el termino común

2

= \frac{2 ( 3 + 7 )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{3 + 7}{4}

u = \frac{- ( - 2 3 ) - 2 7}{2 \cdot 4} : \frac{3 - 7}{4}

\frac{- ( - 2 3 ) - 2 7}{2 \cdot 4}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 3 - 2 7}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 3 - 2 7}{8}

Factorizar el termino común

2

= \frac{2 ( 3 - 7 )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{3 - 7}{4}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{3 + 7}{4}, u = \frac{3 - 7}{4}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = \frac{3 + 7}{4}, cos (x) = \frac{3 - 7}{4}

cos (x) = \frac{3 + 7}{4}, cos (x) = \frac{3 - 7}{4}

cos (x) = \frac{3 + 7}{4} :

Sin solución

cos (x) = \frac{3 + 7}{4}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) = \frac{3 - 7}{4} : x = arccos (\frac{3 - 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 - 7}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3 - 7}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{3 - 7}{4}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{3 - 7}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{3 - 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 - 7}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{3 - 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 - 7}{4}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (\frac{3 - 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{3 - 7}{4}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 1.80125 \dots + 2 πn, x = - 1.80125 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

sin(x)+cos(x)= 3/2

sin (x) + cos (x) = \frac{3}{2}

cos^2(x)-sin^2(x)-5sin(x)=3

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 5 sin (x) = 3

sin(θ)=-(sqrt(21))/5

sin (θ) = - \frac{21}{5}

solvefor t,cos(2t)-sin(t)=sqrt(o)resolver para

t, cos (2 t) - sin (t) = o

cot(x)=-15/8

cot (x) = - \frac{15}{8}