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4sin(θ)+3csc(θ)=7

Solución

4 sin (θ) + 3 csc (θ) = 7

Solución

θ = 0.84806 \dots + 2 πn, θ = π - 0.84806 \dots + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Grados

θ = 48.59037 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 131.40962 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

4 sin (θ) + 3 csc (θ) = 7

Restar

7

de ambos lados

4 sin (θ) + 3 csc (θ) - 7 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 7 + 3 csc (θ) + 4 sin (θ)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

= - 7 + 3 csc (θ) + 4 \cdot \frac{1}{csc ( θ )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( θ )} = \frac{4}{csc ( θ )}

4 \cdot \frac{1}{csc ( θ )}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{csc ( θ )}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{csc ( θ )}

= - 7 + 3 csc (θ) + \frac{4}{csc ( θ )}

- 7 + \frac{4}{csc ( θ )} + 3 csc (θ) = 0

Usando el método de sustitución

- 7 + \frac{4}{csc ( θ )} + 3 csc (θ) = 0

Sea:

csc (θ) = u

- 7 + \frac{4}{u} + 3 u = 0

- 7 + \frac{4}{u} + 3 u = 0 : u = \frac{4}{3}, u = 1

- 7 + \frac{4}{u} + 3 u = 0

Multiplicar ambos lados por

u

- 7 + \frac{4}{u} + 3 u = 0

Multiplicar ambos lados por

u

- 7 u + \frac{4}{u} u + 3 uu = 0 \cdot u

Simplificar

- 7 u + \frac{4}{u} u + 3 uu = 0 \cdot u

Simplificar

\frac{4}{u} u : 4

\frac{4}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 4

Simplificar

3 uu : 3 u^{2}

3 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 3 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 3 u^{2}

Simplificar

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

- 7 u + 4 + 3 u^{2} = 0

- 7 u + 4 + 3 u^{2} = 0

- 7 u + 4 + 3 u^{2} = 0

Resolver

- 7 u + 4 + 3 u^{2} = 0 : u = \frac{4}{3}, u = 1

- 7 u + 4 + 3 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

3 u^{2} - 7 u + 4 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

3 u^{2} - 7 u + 4 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 3, b = - 7, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 3}

(- 7)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1

(- 7)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 7)^{2} = 7^{2}

= 7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 3 \cdot 4 = 48

= 7^{2} - 48

7^{2} = 49

= 49 - 48

Restar:

49 - 48 = 1

= 1

Aplicar la regla

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm 1}{2 \cdot 3}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 7 ) + 1}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- ( - 7 ) - 1}{2 \cdot 3}

u = \frac{- ( - 7 ) + 1}{2 \cdot 3} : \frac{4}{3}

\frac{- ( - 7 ) + 1}{2 \cdot 3}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{7 + 1}{2 \cdot 3}

Sumar:

7 + 1 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{8}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{4}{3}

u = \frac{- ( - 7 ) - 1}{2 \cdot 3} : 1

\frac{- ( - 7 ) - 1}{2 \cdot 3}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{7 - 1}{2 \cdot 3}

Restar:

7 - 1 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 3}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{6}{6}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{4}{3}, u = 1

u = \frac{4}{3}, u = 1

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

- 7 + \frac{4}{u} + 3 u

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = \frac{4}{3}, u = 1

Sustituir en la ecuación

u = csc (θ)

csc (θ) = \frac{4}{3}, csc (θ) = 1

csc (θ) = \frac{4}{3}, csc (θ) = 1

csc (θ) = \frac{4}{3} : θ = arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn, θ = π - arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn

csc (θ) = \frac{4}{3}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

csc (θ) = \frac{4}{3}

Soluciones generales para

csc (θ) = \frac{4}{3}

csc (x) = a \Rightarrow x = arccsc (a) + 2 πn, x = π - arccsc (a) + 2 πn

θ = arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn, θ = π - arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn

θ = arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn, θ = π - arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn

csc (θ) = 1 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn

csc (θ) = 1

Soluciones generales para

csc (θ) = 1

csc (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn, θ = π - arccsc (\frac{4}{3}) + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

θ = 0.84806 \dots + 2 πn, θ = π - 0.84806 \dots + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Ejemplos populares

-4sin(x)=-cos^2(x)+1,0<= x<= 2pi

- 4 sin (x) = - cos^{2} (x) + 1, 0 \leq x \leq 2 π

7cos(6x)=2

7 cos (6 x) = 2

sin^2(θ)+cos(θ)(1-cos(θ))=0

sin^{2} (θ) + cos (θ) (1 - cos (θ)) = 0

tan(A)= 94/67

tan (A) = \frac{94}{67}

2tan(2x)-10=34641

2 tan (2 x) - 10 = 34641