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1/(2cos^2(x-1))=(1+tan^2(x))/(2sec^2(x))

Solución

\frac{1}{2 cos ^{2} ( x - 1 )} = \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 sec ^{2} ( x )}

Solución

x = π + 2 πn + 1, x = 2 πn + 1

Grados

x = 237.29577 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 57.29577 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

\frac{1}{2 cos ^{2} ( x - 1 )} = \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 sec ^{2} ( x )}

Restar

\frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 sec ^{2} ( x )}

de ambos lados

\frac{1}{2 cos ^{2} ( x - 1 )} - \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 sec ^{2} ( x )} = 0

Simplificar

\frac{1}{2 cos ^{2} ( x - 1 )} - \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 sec ^{2} ( x )} : \frac{sec ^{2} ( x ) - cos ^{2} ( x - 1 ) ( 1 + tan ^{2} ( x ) )}{2 cos ^{2} ( x - 1 ) sec ^{2} ( x )}

\frac{1}{2 cos ^{2} ( x - 1 )} - \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 sec ^{2} ( x )}

Mínimo común múltiplo de

2 cos^{2} (x - 1), 2 sec^{2} (x) : 2 cos^{2} (x - 1) sec^{2} (x)

2 cos^{2} (x - 1), 2 sec^{2} (x)

Mínimo común múltiplo (MCM)

Mínimo común múltiplo de

2, 2 : 2

2, 2

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Descomposición en factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

2

2

= 2

Multiplicar los numeros:

2 = 2

= 2

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

2 cos^{2} (x - 1)

2 sec^{2} (x)

= 2 cos^{2} (x - 1) sec^{2} (x)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{1}{2 cos ^{2} ( x - 1 )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sec^{2} (x)

\frac{1}{2 cos ^{2} ( x - 1 )} = \frac{1 \cdot sec ^{2} ( x )}{2 cos ^{2} ( x - 1 ) sec ^{2} ( x )} = \frac{sec ^{2} ( x )}{2 cos ^{2} ( x - 1 ) sec ^{2} ( x )}

Para

\frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 sec ^{2} ( x )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

cos^{2} (x - 1)

\frac{1 + tan ^{2} ( x )}{2 sec ^{2} ( x )} = \frac{( 1 + tan ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x - 1 )}{2 sec ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x - 1 )}

= \frac{sec ^{2} ( x )}{2 cos ^{2} ( x - 1 ) sec ^{2} ( x )} - \frac{( 1 + tan ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x - 1 )}{2 sec ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x - 1 )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sec ^{2} ( x ) - ( 1 + tan ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x - 1 )}{2 cos ^{2} ( x - 1 ) sec ^{2} ( x )}

\frac{sec ^{2} ( x ) - cos ^{2} ( x - 1 ) ( 1 + tan ^{2} ( x ) )}{2 cos ^{2} ( x - 1 ) sec ^{2} ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sec^{2} (x) - cos^{2} (x - 1) (1 + tan^{2} (x)) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sec^{2} (x) - (1 + tan^{2} (x)) cos^{2} (- 1 + x)

Utilizar la identidad pitagórica:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

= sec^{2} (x) - cos^{2} (- 1 + x) sec^{2} (x)

sec^{2} (x) - cos^{2} (- 1 + x) sec^{2} (x) = 0

Factorizar

sec^{2} (x) - cos^{2} (- 1 + x) sec^{2} (x) : - sec^{2} (x) (cos (- 1 + x) + 1) (cos (- 1 + x) - 1)

sec^{2} (x) - cos^{2} (- 1 + x) sec^{2} (x)

Factorizar el termino común

- sec^{2} (x)

= - sec^{2} (x) (- 1 + cos^{2} (- 1 + x))

Factorizar

cos^{2} (- 1 + x) - 1 : (cos (- 1 + x) + 1) (cos (- 1 + x) - 1)

cos^{2} (- 1 + x) - 1

Reescribir

1

como

1^{2}

= cos^{2} (- 1 + x) - 1^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (- 1 + x) - 1^{2} = (cos (- 1 + x) + 1) (cos (- 1 + x) - 1)

= (cos (- 1 + x) + 1) (cos (- 1 + x) - 1)

= - sec^{2} (x) (cos (- 1 + x) + 1) (cos (- 1 + x) - 1)

- sec^{2} (x) (cos (- 1 + x) + 1) (cos (- 1 + x) - 1) = 0

Resolver cada parte por separado

sec^{2} (x) = 0 or cos (- 1 + x) + 1 = 0 or cos (- 1 + x) - 1 = 0

sec^{2} (x) = 0 :

Sin solución

sec^{2} (x) = 0

Aplicar la regla

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

sec (x) = 0

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (- 1 + x) + 1 = 0 : x = π + 2 πn + 1

cos (- 1 + x) + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

cos (- 1 + x) + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

cos (- 1 + x) + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

cos (- 1 + x) = - 1

cos (- 1 + x) = - 1

Soluciones generales para

cos (- 1 + x) = - 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

- 1 + x = π + 2 πn

- 1 + x = π + 2 πn

Resolver

- 1 + x = π + 2 πn : x = π + 2 πn + 1

- 1 + x = π + 2 πn

Mover

1

al lado derecho

- 1 + x = π + 2 πn

Sumar

1

a ambos lados

- 1 + x + 1 = π + 2 πn + 1

Simplificar

x = π + 2 πn + 1

x = π + 2 πn + 1

x = π + 2 πn + 1

cos (- 1 + x) - 1 = 0 : x = 2 πn + 1

cos (- 1 + x) - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

cos (- 1 + x) - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

cos (- 1 + x) - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

cos (- 1 + x) = 1

cos (- 1 + x) = 1

Soluciones generales para

cos (- 1 + x) = 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

- 1 + x = 0 + 2 πn

- 1 + x = 0 + 2 πn

Resolver

- 1 + x = 0 + 2 πn : x = 2 πn + 1

- 1 + x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

- 1 + x = 2 πn

Mover

1

al lado derecho

- 1 + x = 2 πn

Sumar

1

a ambos lados

- 1 + x + 1 = 2 πn + 1

Simplificar

x = 2 πn + 1

x = 2 πn + 1

x = 2 πn + 1

Combinar toda las soluciones

x = π + 2 πn + 1, x = 2 πn + 1

Ejemplos populares

sin(2x)-2cos(2x)=0

sin (2 x) - 2 cos (2 x) = 0

tan(x)=(87.092)/(86.676)

tan (x) = \frac{87.092}{86.676}

csc(x)=-3/2

csc (x) = - \frac{3}{2}

1+3sin(θ)=0

1 + 3 sin (θ) = 0

(tan(2x))/(sin(x))=-2

\frac{tan ( 2 x )}{sin ( x )} = - 2