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4sin^2(x)=5-2cos(x)

Solución

4 sin^{2} (x) = 5 - 2 cos (x)

Solución

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Pasos de solución

4 sin^{2} (x) = 5 - 2 cos (x)

Restar

5 - 2 cos (x)

de ambos lados

4 sin^{2} (x) - 5 + 2 cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 5 + 2 cos (x) + 4 sin^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 5 + 2 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

- 5 + 2 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) : 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 1

- 5 + 2 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Expandir

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 5 + 2 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Simplificar

- 5 + 2 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) : 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 1

- 5 + 2 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 5 + 4

Sumar/restar lo siguiente:

- 5 + 4 = - 1

= 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 1

- 1 + 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 1 + 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 1 + 2 u - 4 u^{2} = 0

- 1 + 2 u - 4 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}

- 1 + 2 u - 4 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 4, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

Simplificar

2^{2} - 4 (- 4) (- 1) : 23 i

2^{2} - 4 (- 4) (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 2^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 2^{2} - 16

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- a = i a

= i 16 - 2^{2}

- 2^{2} + 16 = 23

- 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= - 4 + 16

Sumar/restar lo siguiente:

- 4 + 16 = 12

= 12

Descomposición en factores primos de

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

divida por

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 3 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 23

= 23 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 3 i}{2 ( - 4 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 2 + 2 3 i}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 3 i}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 2 + 2 3 i}{2 ( - 4 )} : \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

\frac{- 2 + 2 3 i}{2 ( - 4 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 2 3 i}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 + 2 3 i}{- 8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 2 + 2 3 i}{8}

Cancelar

\frac{- 2 + 2 3 i}{8} : \frac{- 1 + 3 i}{4}

\frac{- 2 + 2 3 i}{8}

Factorizar

- 2 + 23 i : 2 (- 1 + 3 i)

- 2 + 23 i

Reescribir como

= - 2 \cdot 1 + 23 i

Factorizar el termino común

2

= 2 (- 1 + 3 i)

= \frac{2 ( - 1 + 3 i )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{- 1 + 3 i}{4}

= - \frac{- 1 + 3 i}{4}

Reescribir

- \frac{- 1 + 3 i}{4}

en la forma binómica:

\frac{1}{4} - \frac{3}{4} i

- \frac{- 1 + 3 i}{4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + 3 i}{4} = - (- \frac{1}{4}) - (\frac{3 i}{4})

= - (- \frac{1}{4}) - (\frac{3 i}{4})

Quitar los parentesis:

(a) = a, - (- a) = a

= \frac{1}{4} - \frac{3 i}{4}

= \frac{1}{4} - \frac{3}{4} i

u = \frac{- 2 - 2 3 i}{2 ( - 4 )} : \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}

\frac{- 2 - 2 3 i}{2 ( - 4 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 2 3 i}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 - 2 3 i}{- 8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 2 - 2 3 i}{8}

Cancelar

\frac{- 2 - 2 3 i}{8} : - \frac{1 + 3 i}{4}

\frac{- 2 - 2 3 i}{8}

Factorizar

- 2 - 23 i : - 2 (1 + 3 i)

- 2 - 23 i

Reescribir como

= - 2 \cdot 1 - 23 i

Factorizar el termino común

2

= - 2 (1 + 3 i)

= - \frac{2 ( 1 + 3 i )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{1 + 3 i}{4}

= - (- \frac{1 + 3 i}{4})

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{1 + 3 i}{4}

Reescribir

\frac{1 + 3 i}{4}

en la forma binómica:

\frac{1}{4} + \frac{3}{4} i

\frac{1 + 3 i}{4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + 3 i}{4} = \frac{1}{4} + \frac{3 i}{4}

= \frac{1}{4} + \frac{3 i}{4}

= \frac{1}{4} + \frac{3}{4} i

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}, u = \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}, cos (x) = \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}

cos (x) = \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}, cos (x) = \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}

cos (x) = \frac{1}{4} - i \frac{3}{4} :

Sin solución

cos (x) = \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) = \frac{1}{4} + i \frac{3}{4} :

Sin solución

cos (x) = \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Ejemplos populares

sin(x+pi/6)=-1

sin (x + \frac{π}{6}) = - 1

sec(x)= 4/3

sec (x) = \frac{4}{3}

4cos(x)+3cos(x)=5

4 cos (x) + 3 cos (x) = 5

4sin(2x)tan(x)-tan(x)=0

4 sin (2 x) tan (x) - tan (x) = 0

3sin(x)=sqrt(3)*sin(x)+3cos(x)+3sin(x)

3 sin (x) = 3 \cdot sin (x) + 3 cos (x) + 3 sin (x)