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cos^4(x)+2cos^2(x)=1

Solución

cos^{4} (x) + 2 cos^{2} (x) = 1

Solución

x = 0.87161 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.87161 \dots + 2 πn, x = 2.26998 \dots + 2 πn, x = - 2.26998 \dots + 2 πn

Grados

x = 49.93964 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 310.06035 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 130.06035 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 130.06035 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos^{4} (x) + 2 cos^{2} (x) = 1

Usando el método de sustitución

cos^{4} (x) + 2 cos^{2} (x) = 1

Sea:

cos (x) = u

u^{4} + 2 u^{2} = 1

u^{4} + 2 u^{2} = 1 : u = - 1 + 2, u = - - 1 + 2, u = i 1 + 2, u = - i 1 + 2

u^{4} + 2 u^{2} = 1

Mover

1

al lado izquierdo

u^{4} + 2 u^{2} = 1

Restar

1

de ambos lados

u^{4} + 2 u^{2} - 1 = 1 - 1

Simplificar

u^{4} + 2 u^{2} - 1 = 0

u^{4} + 2 u^{2} - 1 = 0

Re-escribir la ecuación con

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

v^{2} + 2 v - 1 = 0

Resolver

v^{2} + 2 v - 1 = 0 : v = - 1 + 2, v = - 1 - 2

v^{2} + 2 v - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

v^{2} + 2 v - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = 2, c = - 1

v_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

v_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 22

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Sumar:

4 + 4 = 8

= 8

Descomposición en factores primos de

8 : 2^{3}

8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 22

v_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 2}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

v_{1} = \frac{- 2 + 2 2}{2 \cdot 1}, v_{2} = \frac{- 2 - 2 2}{2 \cdot 1}

v = \frac{- 2 + 2 2}{2 \cdot 1} : - 1 + 2

\frac{- 2 + 2 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 + 2 2}{2}

Factorizar

- 2 + 22 : 2 (- 1 + 2)

- 2 + 22

Reescribir como

= - 2 \cdot 1 + 22

Factorizar el termino común

2

= 2 (- 1 + 2)

= \frac{2 ( - 1 + 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= - 1 + 2

v = \frac{- 2 - 2 2}{2 \cdot 1} : - 1 - 2

\frac{- 2 - 2 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 - 2 2}{2}

Factorizar

- 2 - 22 : - 2 (1 + 2)

- 2 - 22

Reescribir como

= - 2 \cdot 1 - 22

Factorizar el termino común

2

= - 2 (1 + 2)

= - \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= - (1 + 2)

Negar

- (1 + 2) = - 1 - 2

= - 1 - 2

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

v = - 1 + 2, v = - 1 - 2

v = - 1 + 2, v = - 1 - 2

Sustituir hacia atrás la

v = u^{2},

resolver para

u

Resolver

u^{2} = - 1 + 2 : u = - 1 + 2, u = - - 1 + 2

u^{2} = - 1 + 2

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = - 1 + 2, u = - - 1 + 2

Resolver

u^{2} = - 1 - 2 : u = i 1 + 2, u = - i 1 + 2

u^{2} = - 1 - 2

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = - 1 - 2, u = - - 1 - 2

Simplificar

- 1 - 2 : i 1 + 2

- 1 - 2

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- a = i a

= i 1 + 2

Simplificar

- - 1 - 2 : - i 1 + 2

- - 1 - 2

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- a = i a

= - i 1 + 2

u = i 1 + 2, u = - i 1 + 2

Las soluciones son

u = - 1 + 2, u = - - 1 + 2, u = i 1 + 2, u = - i 1 + 2

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - 1 + 2, cos (x) = - - 1 + 2, cos (x) = i 1 + 2, cos (x) = - i 1 + 2

cos (x) = - 1 + 2, cos (x) = - - 1 + 2, cos (x) = i 1 + 2, cos (x) = - i 1 + 2

cos (x) = - 1 + 2 : x = arccos (- 1 + 2) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 2) + 2 πn

cos (x) = - 1 + 2

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - 1 + 2

Soluciones generales para

cos (x) = - 1 + 2

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (- 1 + 2) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 2) + 2 πn

x = arccos (- 1 + 2) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 2) + 2 πn

cos (x) = - - 1 + 2 : x = arccos (- - 1 + 2) + 2 πn, x = - arccos (- - 1 + 2) + 2 πn

cos (x) = - - 1 + 2

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - - 1 + 2

Soluciones generales para

cos (x) = - - 1 + 2

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- - 1 + 2) + 2 πn, x = - arccos (- - 1 + 2) + 2 πn

x = arccos (- - 1 + 2) + 2 πn, x = - arccos (- - 1 + 2) + 2 πn

cos (x) = i 1 + 2 :

Sin solución

cos (x) = i 1 + 2

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) = - i 1 + 2 :

Sin solución

cos (x) = - i 1 + 2

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = arccos (- 1 + 2) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 2) + 2 πn, x = arccos (- - 1 + 2) + 2 πn, x = - arccos (- - 1 + 2) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.87161 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.87161 \dots + 2 πn, x = 2.26998 \dots + 2 πn, x = - 2.26998 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

cos^2(x)+sin^2(x)=cos^5(x)

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = cos^{5} (x)

sin(x-45^5)=((sqrt(2)))/2

sin (x - 4 5^{5}) = \frac{( 2 )}{2}

(sin(x)-sqrt(3)*cos(x))/2 =0

\frac{sin ( x ) - 3 \cdot cos ( x )}{2} = 0

cos(1/(3x))= 1/3

cos (\frac{1}{3 x}) = \frac{1}{3}

arctan(1+x)+arctan(1-x)=arctan(1/2)

arctan (1 + x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{1}{2})