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sin^2(x)-15sin(x)cos(x)+50cos^2(x)=0

Solución

sin^{2} (x) - 15 sin (x) cos (x) + 50 cos^{2} (x) = 0

Solución

x = 1.37340 \dots + πn, x = 1.47112 \dots + πn

Grados

x = 78.69006 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 84.28940 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Pasos de solución

sin^{2} (x) - 15 sin (x) cos (x) + 50 cos^{2} (x) = 0

Factorizar

sin^{2} (x) - 15 sin (x) cos (x) + 50 cos^{2} (x) : (sin (x) - 5 cos (x)) (sin (x) - 10 cos (x))

sin^{2} (x) - 15 sin (x) cos (x) + 50 cos^{2} (x)

Factorizar la expresión

sin^{2} (x) - 15 sin (x) cos (x) + 50 cos^{2} (x)

Definición

Factores de

50 : 1, 2, 5, 10, 25, 50

50

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

50 : 2, 5, 5

50

50

divida por

250 = 25 \cdot 2

= 2 \cdot 25

25

divida por

525 = 5 \cdot 5

= 2 \cdot 5 \cdot 5

2, 5

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 5 \cdot 5

Multiplicar los factores primos de

50 : 10, 25

2 \cdot 5 = 10

5 \cdot 5 = 25

10, 25

10, 25

Agregar factores primos:

2, 5

Agregar 1 y su propio número

50

1, 50

Divisores de

50

1, 2, 5, 10, 25, 50

Factores negativos de

50 : - 1, - 2, - 5, - 10, - 25, - 50

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2, - 5, - 10, - 25, - 50

Por cada dos factores tales que

u * v = 50,

revisar si

u + v = - 15

Revisar

u = 1, v = 50 : u * v = 50, u + v = 51 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = 2, v = 25 : u * v = 50, u + v = 27 \Rightarrow

Falso

u = - 5, v = - 10

Agrupar en

(a x^{2} + ux y) + (vx y + c y^{2})

(sin^{2} (x) - 5 sin (x) cos (x)) + (- 10 sin (x) cos (x) + 50 cos^{2} (x))

= (sin^{2} (x) - 5 sin (x) cos (x)) + (- 10 sin (x) cos (x) + 50 cos^{2} (x))

Factorizar

sin (x)

sin^{2} (x) - 5 sin (x) cos (x)

sin (x) (sin (x) - 5 cos (x))

sin^{2} (x) - 5 sin (x) cos (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) = sin (x) sin (x)

= sin (x) sin (x) - 5 sin (x) cos (x)

Factorizar el termino común

sin (x)

= sin (x) (sin (x) - 5 cos (x))

Factorizar

- 10 cos (x)

- 10 sin (x) cos (x) + 50 cos^{2} (x)

- 10 cos (x) (sin (x) - 5 cos (x))

- 10 sin (x) cos (x) + 50 cos^{2} (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{2} (x) = cos (x) cos (x)

= - 10 sin (x) cos (x) + 50 cos (x) cos (x)

Reescribir

50

como

5 \cdot 10

= - 10 sin (x) cos (x) + 5 \cdot 10 cos (x) cos (x)

Factorizar el termino común

- 10 cos (x)

= - 10 cos (x) (sin (x) - 5 cos (x))

= sin (x) (sin (x) - 5 cos (x)) - 10 cos (x) (sin (x) - 5 cos (x))

Factorizar el termino común

sin (x) - 5 cos (x)

= (sin (x) - 5 cos (x)) (sin (x) - 10 cos (x))

(sin (x) - 5 cos (x)) (sin (x) - 10 cos (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

sin (x) - 5 cos (x) = 0 or sin (x) - 10 cos (x) = 0

sin (x) - 5 cos (x) = 0 : x = arctan (5) + πn

sin (x) - 5 cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (x) - 5 cos (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) - 5 cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 5 = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) - 5 = 0

tan (x) - 5 = 0

Mover

5

al lado derecho

tan (x) - 5 = 0

Sumar

5

a ambos lados

tan (x) - 5 + 5 = 0 + 5

Simplificar

tan (x) = 5

tan (x) = 5

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

tan (x) = 5

Soluciones generales para

tan (x) = 5

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (5) + πn

x = arctan (5) + πn

sin (x) - 10 cos (x) = 0 : x = arctan (10) + πn

sin (x) - 10 cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (x) - 10 cos (x) = 0

Dividir ambos lados entre

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) - 10 cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Simplificar

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 10 = 0

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) - 10 = 0

tan (x) - 10 = 0

Mover

10

al lado derecho

tan (x) - 10 = 0

Sumar

10

a ambos lados

tan (x) - 10 + 10 = 0 + 10

Simplificar

tan (x) = 10

tan (x) = 10

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

tan (x) = 10

Soluciones generales para

tan (x) = 10

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (10) + πn

x = arctan (10) + πn

Combinar toda las soluciones

x = arctan (5) + πn, x = arctan (10) + πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 1.37340 \dots + πn, x = 1.47112 \dots + πn

Ejemplos populares

cot(x)=sin^2(x)

cot (x) = sin^{2} (x)

sec(2x+60)=-1.5

sec (2 x + 60) = - 1.5

sin^2(x)+2sin^2(x/2)=1

sin^{2} (x) + 2 sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1

tan(a)=0.7

tan (a) = 0.7

8sin(x)-4csc(x)=0

8 sin (x) - 4 csc (x) = 0