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((1+cos^2(a)))/(sin^2(a))= 5/3

Solución

\frac{( 1 + cos ^{2} ( a ) )}{sin ^{2} ( a )} = \frac{5}{3}

Solución

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{2 π}{3} + 2 πn, a = \frac{4 π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grados

a = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

\frac{( 1 + cos ^{2} ( a ) )}{sin ^{2} ( a )} = \frac{5}{3}

Restar

\frac{5}{3}

de ambos lados

\frac{1 + cos ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )} - \frac{5}{3} = 0

Simplificar

\frac{1 + cos ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )} - \frac{5}{3} : \frac{3 ( 1 + cos ^{2} ( a ) ) - 5 sin ^{2} ( a )}{3 sin ^{2} ( a )}

\frac{1 + cos ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )} - \frac{5}{3}

Mínimo común múltiplo de

sin^{2} (a), 3 : 3 sin^{2} (a)

sin^{2} (a), 3

Mínimo común múltiplo (MCM)

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

sin^{2} (a)

3

= 3 sin^{2} (a)

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{1 + cos ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )} :

multiplicar el denominador y el numerador por

3

\frac{1 + cos ^{2} ( a )}{sin ^{2} ( a )} = \frac{( 1 + cos ^{2} ( a ) ) \cdot 3}{sin ^{2} ( a ) \cdot 3}

Para

\frac{5}{3} :

multiplicar el denominador y el numerador por

sin^{2} (a)

\frac{5}{3} = \frac{5 sin ^{2} ( a )}{3 sin ^{2} ( a )}

= \frac{( 1 + cos ^{2} ( a ) ) \cdot 3}{sin ^{2} ( a ) \cdot 3} - \frac{5 sin ^{2} ( a )}{3 sin ^{2} ( a )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( 1 + cos ^{2} ( a ) ) \cdot 3 - 5 sin ^{2} ( a )}{3 sin ^{2} ( a )}

\frac{3 ( 1 + cos ^{2} ( a ) ) - 5 sin ^{2} ( a )}{3 sin ^{2} ( a )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

3 (1 + cos^{2} (a)) - 5 sin^{2} (a) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

(1 + cos^{2} (a)) \cdot 3 - 5 sin^{2} (a)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 + 1 - sin^{2} (a)) \cdot 3 - 5 sin^{2} (a)

Simplificar

(1 + 1 - sin^{2} (a)) \cdot 3 - 5 sin^{2} (a) : - 8 sin^{2} (a) + 6

(1 + 1 - sin^{2} (a)) \cdot 3 - 5 sin^{2} (a)

Sumar:

1 + 1 = 2

= 3 (- sin^{2} (a) + 2) - 5 sin^{2} (a)

Expandir

3 (- sin^{2} (a) + 2) : - 3 sin^{2} (a) + 6

3 (- sin^{2} (a) + 2)

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 3, b = - sin^{2} (a), c = 2

= 3 (- sin^{2} (a)) + 3 \cdot 2

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - 3 sin^{2} (a) + 3 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 = 6

= - 3 sin^{2} (a) + 6

= - 3 sin^{2} (a) + 6 - 5 sin^{2} (a)

Simplificar

- 3 sin^{2} (a) + 6 - 5 sin^{2} (a) : - 8 sin^{2} (a) + 6

- 3 sin^{2} (a) + 6 - 5 sin^{2} (a)

Agrupar términos semejantes

= - 3 sin^{2} (a) - 5 sin^{2} (a) + 6

Sumar elementos similares:

- 3 sin^{2} (a) - 5 sin^{2} (a) = - 8 sin^{2} (a)

= - 8 sin^{2} (a) + 6

= - 8 sin^{2} (a) + 6

= - 8 sin^{2} (a) + 6

6 - 8 sin^{2} (a) = 0

Usando el método de sustitución

6 - 8 sin^{2} (a) = 0

Sea:

sin (a) = u

6 - 8 u^{2} = 0

6 - 8 u^{2} = 0 : u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

6 - 8 u^{2} = 0

Mover

6

al lado derecho

6 - 8 u^{2} = 0

Restar

6

de ambos lados

6 - 8 u^{2} - 6 = 0 - 6

Simplificar

- 8 u^{2} = - 6

- 8 u^{2} = - 6

Dividir ambos lados entre

- 8

- 8 u^{2} = - 6

Dividir ambos lados entre

- 8

\frac{- 8 u ^{2}}{- 8} = \frac{- 6}{- 8}

Simplificar

\frac{- 8 u ^{2}}{- 8} = \frac{- 6}{- 8}

Simplificar

\frac{- 8 u ^{2}}{- 8} : u^{2}

\frac{- 8 u ^{2}}{- 8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8 u ^{2}}{8}

Dividir:

\frac{8}{8} = 1

= u^{2}

Simplificar

\frac{- 6}{- 8} : \frac{3}{4}

\frac{- 6}{- 8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{6}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{3}{4}

u^{2} = \frac{3}{4}

u^{2} = \frac{3}{4}

u^{2} = \frac{3}{4}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{3}{4}, u = - \frac{3}{4}

\frac{3}{4} = \frac{3}{2}

\frac{3}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{3}{2}

- \frac{3}{4} = - \frac{3}{2}

- \frac{3}{4}

Simplificar

\frac{3}{4} : \frac{3}{2}

\frac{3}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{3}{2}

= - \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

Sustituir en la ecuación

u = sin (a)

sin (a) = \frac{3}{2}, sin (a) = - \frac{3}{2}

sin (a) = \frac{3}{2}, sin (a) = - \frac{3}{2}

sin (a) = \frac{3}{2} : a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{2 π}{3} + 2 πn

sin (a) = \frac{3}{2}

Soluciones generales para

sin (a) = \frac{3}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{2 π}{3} + 2 πn

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{2 π}{3} + 2 πn

sin (a) = - \frac{3}{2} : a = \frac{4 π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sin (a) = - \frac{3}{2}

Soluciones generales para

sin (a) = - \frac{3}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

a = \frac{4 π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

a = \frac{4 π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

a = \frac{π}{3} + 2 πn, a = \frac{2 π}{3} + 2 πn, a = \frac{4 π}{3} + 2 πn, a = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Ejemplos populares

d^2+13d+36=(sin^2(x))/2

d^{2} + 13 d + 36 = \frac{sin ^{2} ( x )}{2}

(tan^2(x)-4)/(cos(x)+5)=0

\frac{tan ^{2} ( x ) - 4}{cos ( x ) + 5} = 0

cot^2(x)=sec^2(x)-1

cot^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

(cos^2(a)-1)/(sin^2(a)+1)=0

\frac{cos ^{2} ( a ) - 1}{sin ^{2} ( a ) + 1} = 0

7sin^2(x)+2sin^2(x)-3cos^2(x)=0

7 sin^{2} (x) + 2 sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) = 0