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Popular >

cos(3x)-21cos(x)+16=0

Solución

cos (3 x) - 21 cos (x) + 16 = 0

Solución

x = 0.74946 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.74946 \dots + 2 πn

Grados

x = 42.94140 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 317.05859 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (3 x) - 21 cos (x) + 16 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

16 + cos (3 x) - 21 cos (x)

cos (3 x) = 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

cos (3 x)

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cos (3 x)

Reescribir como

= cos (2 x + x)

Utilizar la identidad de suma de ángulos:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (2 x) cos (x) - sin (2 x) sin (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

Simplificar

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x) : cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Sumar:

1 + 1 = 2

= 2 cos (x) sin^{2} (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

Expandir

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

= cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) - 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Expandir

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = cos (x), b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= cos (x) 2 cos^{2} (x) - cos (x) 1

= 2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

Simplificar

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 \cdot cos (x) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

Sumar:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

1 \cdot cos (x) = cos (x)

1 cos (x)

Multiplicar:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

Expandir

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x)) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2 cos (x), b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 2 cos (x) 1 - (- 2 cos (x)) cos^{2} (x)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

Simplificar

- 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

2 \cdot 1 \cdot cos (x) = 2 cos (x)

2 \cdot 1 cos (x)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 2 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

Sumar:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

Simplificar

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

Agrupar términos semejantes

= 2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

Sumar elementos similares:

2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) = 4 cos^{3} (x)

= 4 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

Sumar elementos similares:

- cos (x) - 2 cos (x) = - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 16 + 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x) - 21 cos (x)

Simplificar

= 16 + 4 cos^{3} (x) - 24 cos (x)

16 - 24 cos (x) + 4 cos^{3} (x) = 0

Usando el método de sustitución

16 - 24 cos (x) + 4 cos^{3} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

16 - 24 u + 4 u^{3} = 0

16 - 24 u + 4 u^{3} = 0 : u = 2, u = - 1 + 3, u = - 1 - 3

16 - 24 u + 4 u^{3} = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

4 u^{3} - 24 u + 16 = 0

Factorizar

4 u^{3} - 24 u + 16 : 4 (u - 2) (u^{2} + 2 u - 2)

4 u^{3} - 24 u + 16

Factorizar el termino común

4 : 4 (u^{3} - 6 u + 4)

4 u^{3} - 24 u + 16

Reescribir

16

como

4 \cdot 4

Reescribir

24

como

4 \cdot 6

= 4 u^{3} - 4 \cdot 6 u + 4 \cdot 4

Factorizar el termino común

4

= 4 (u^{3} - 6 u + 4)

= 4 (u^{3} - 6 u + 4)

Factorizar

u^{3} - 6 u + 4 : (u - 2) (u^{2} + 2 u - 2)

u^{3} - 6 u + 4

Utilizar el teorema de la raíz racional

a_{0} = 4, a_{n} = 1

Los divisores de

a_{0} : 1, 2, 4,

Los divisores de

a_{n} : 1

Por lo tanto, verificar los siguientes numeros racionales:

\pm \frac{1 , 2 , 4}{1}

\frac{2}{1}

es la raíz de la expresión, por lo tanto, factorizar

u - 2

= (u - 2) \frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2}

\frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2} = u^{2} + 2 u - 2

\frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2}

Dividir

\frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2} : \frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2} = u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

u^{3} - 6 u + 4

y el divisor

u - 2 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

Cociente = u^{2}

Multiplicar

u - 2

por

u^{2} : u^{3} - 2 u^{2}

Substraer

u^{3} - 2 u^{2}

u^{3} - 6 u + 4

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 2 u^{2} - 6 u + 4

Por lo tanto

\frac{u ^{3} - 6 u + 4}{u - 2} = u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2}

= u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2}

Dividir

\frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2} : \frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2} = 2 u + \frac{- 2 u + 4}{u - 2}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

2 u^{2} - 6 u + 4

y el divisor

u - 2 : \frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

Cociente = 2 u

Multiplicar

u - 2

por

2 u : 2 u^{2} - 4 u

Substraer

2 u^{2} - 4 u

2 u^{2} - 6 u + 4

para obtener un nuevo residuo

Residuo = - 2 u + 4

Por lo tanto

\frac{2 u ^{2} - 6 u + 4}{u - 2} = 2 u + \frac{- 2 u + 4}{u - 2}

= u^{2} + 2 u + \frac{- 2 u + 4}{u - 2}

Dividir

\frac{- 2 u + 4}{u - 2} : \frac{- 2 u + 4}{u - 2} = - 2

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

- 2 u + 4

y el divisor

u - 2 : \frac{- 2 u}{u} = - 2

Cociente = - 2

Multiplicar

u - 2

por

- 2 : - 2 u + 4

Substraer

- 2 u + 4

- 2 u + 4

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 0

Por lo tanto

\frac{- 2 u + 4}{u - 2} = - 2

= u^{2} + 2 u - 2

= u^{2} + 2 u - 2

= (u - 2) (u^{2} + 2 u - 2)

= 4 (u - 2) (u^{2} + 2 u - 2)

4 (u - 2) (u^{2} + 2 u - 2) = 0

Utilizando el teorema de factor cero: si

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

u - 2 = 0 or u^{2} + 2 u - 2 = 0

Resolver

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Mover

2

al lado derecho

u - 2 = 0

Sumar

2

a ambos lados

u - 2 + 2 = 0 + 2

Simplificar

u = 2

u = 2

Resolver

u^{2} + 2 u - 2 = 0 : u = - 1 + 3, u = - 1 - 3

u^{2} + 2 u - 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} + 2 u - 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 23

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= 4 + 8

Sumar:

4 + 8 = 12

= 12

Descomposición en factores primos de

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

divida por

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 3 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 3}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 2 + 2 3}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 3}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 2 + 2 3}{2 \cdot 1} : - 1 + 3

\frac{- 2 + 2 3}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 + 2 3}{2}

Factorizar

- 2 + 23 : 2 (- 1 + 3)

- 2 + 23

Reescribir como

= - 2 \cdot 1 + 23

Factorizar el termino común

2

= 2 (- 1 + 3)

= \frac{2 ( - 1 + 3 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= - 1 + 3

u = \frac{- 2 - 2 3}{2 \cdot 1} : - 1 - 3

\frac{- 2 - 2 3}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 - 2 3}{2}

Factorizar

- 2 - 23 : - 2 (1 + 3)

- 2 - 23

Reescribir como

= - 2 \cdot 1 - 23

Factorizar el termino común

2

= - 2 (1 + 3)

= - \frac{2 ( 1 + 3 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= - (1 + 3)

Negar

- (1 + 3) = - 1 - 3

= - 1 - 3

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - 1 + 3, u = - 1 - 3

Las soluciones son

u = 2, u = - 1 + 3, u = - 1 - 3

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = 2, cos (x) = - 1 + 3, cos (x) = - 1 - 3

cos (x) = 2, cos (x) = - 1 + 3, cos (x) = - 1 - 3

cos (x) = 2 :

Sin solución

cos (x) = 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) = - 1 + 3 : x = arccos (- 1 + 3) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 3) + 2 πn

cos (x) = - 1 + 3

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - 1 + 3

Soluciones generales para

cos (x) = - 1 + 3

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (- 1 + 3) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 3) + 2 πn

x = arccos (- 1 + 3) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 3) + 2 πn

cos (x) = - 1 - 3 :

Sin solución

cos (x) = - 1 - 3

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = arccos (- 1 + 3) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 1 + 3) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.74946 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.74946 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

sin^5(x)-sin(x)=0

sin^{5} (x) - sin (x) = 0

tan(x)=(95.75)/4

tan (x) = \frac{95.75}{4}

5cos^2(x)=4

5 cos^{2} (x) = 4

cos(x-15^0)=((sqrt(2)))/2

cos (x - 1 5^{0}) = \frac{( 2 )}{2}

sin(x)=1-cos^x(x)

sin (x) = 1 - cos^{x} (x)