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sin(-i)

Solución

sin (- i)

Solución

i \frac{1 - e ^{2}}{2 e}

Pasos de solución

sin (- i)

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

sin (0) cosh (1) - i cos (0) sinh (1)

sin (- i)

Usar la siguiente identidad:

sin (a + bi) = sin (a) cosh (b) + i cos (a) sinh (b)

= sin (0) cosh (- 1) + i cos (0) sinh (- 1)

Utilizar la siguiente propiedad:

sinh (- x) = - sinh (x)

sinh (- 1) = - sinh (1)

= sin (0) cosh (- 1) + i cos (0) (- sinh (1))

Utilizar la siguiente propiedad:

cosh (- x) = cosh (x)

cosh (- 1) = cosh (1)

= sin (0) cosh (1) + i cos (0) (- sinh (1))

Simplificar

= sin (0) cosh (1) - i cos (0) sinh (1)

= sin (0) cosh (1) - i cos (0) sinh (1)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

sin (0) = 0

sin (0)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

cosh (1) = \frac{e ^{2} + 1}{2 e}

cosh (1)

Utilizar la identidad hiperbólica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

= \frac{e ^{1} + e ^{- 1}}{2}

\frac{e ^{1} + e ^{- 1}}{2} = \frac{e ^{2} + 1}{2 e}

\frac{e ^{1} + e ^{- 1}}{2}

Aplicar la regla

a^{1} = a

e^{1} = e

= \frac{e + e ^{- 1}}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{e + \frac{1}{e}}{2}

Simplificar

e + \frac{1}{e}

en una fracción:

\frac{e ^{2} + 1}{e}

e + \frac{1}{e}

Convertir a fracción:

e = \frac{ee}{e}

= \frac{ee}{e} + \frac{1}{e}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{ee + 1}{e}

ee + 1 = e^{2} + 1

ee + 1

ee = e^{2}

ee

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ee = e^{1 + 1}

= e^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= e^{2}

= e^{2} + 1

= \frac{e ^{2} + 1}{e}

= \frac{\frac{e ^{2} + 1}{e}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{e ^{2} + 1}{e 2}

= \frac{e ^{2} + 1}{2 e}

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cos (0) = 1

cos (0)

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

sinh (1) = \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

sinh (1)

Utilizar la identidad hiperbólica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

= \frac{e ^{1} - e ^{- 1}}{2}

\frac{e ^{1} - e ^{- 1}}{2} = \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

\frac{e ^{1} - e ^{- 1}}{2}

Aplicar la regla

a^{1} = a

e^{1} = e

= \frac{e - e ^{- 1}}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{e - \frac{1}{e}}{2}

Simplificar

e - \frac{1}{e}

en una fracción:

\frac{e ^{2} - 1}{e}

e - \frac{1}{e}

Convertir a fracción:

e = \frac{ee}{e}

= \frac{ee}{e} - \frac{1}{e}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{ee - 1}{e}

ee - 1 = e^{2} - 1

ee - 1

ee = e^{2}

ee

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ee = e^{1 + 1}

= e^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= e^{2}

= e^{2} - 1

= \frac{e ^{2} - 1}{e}

= \frac{\frac{e ^{2} - 1}{e}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{e ^{2} - 1}{e 2}

= \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

= 0 \cdot \frac{e ^{2} + 1}{2 e} - i 1 \cdot \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

Simplificar

0 \cdot \frac{e ^{2} + 1}{2 e} - i 1 \cdot \frac{e ^{2} - 1}{2 e} : i \frac{1 - e ^{2}}{2 e}

0 \cdot \frac{e ^{2} + 1}{2 e} - i 1 \cdot \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

0 \cdot \frac{e ^{2} + 1}{2 e} = 0

0 \cdot \frac{e ^{2} + 1}{2 e}

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 0

i 1 \cdot \frac{e ^{2} - 1}{2 e} = \frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

i 1 \cdot \frac{e ^{2} - 1}{2 e}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= 1 \cdot \frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

Multiplicar:

1 \cdot \frac{( e ^{2} - 1 ) i}{2 e} = \frac{( e ^{2} - 1 ) i}{2 e}

= \frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

= 0 - \frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

0 - \frac{( e ^{2} - 1 ) i}{2 e} = - \frac{( e ^{2} - 1 ) i}{2 e}

= - \frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

Reescribir

- \frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

en la forma binómica:

\frac{- e ^{2} + 1}{2 e} i

- \frac{i ( e ^{2} - 1 )}{2 e}

Expandir

i (e^{2} - 1) : e^{2} i - i

i (e^{2} - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = i, b = e^{2}, c = 1

= i e^{2} - i 1

= e^{2} i - 1 i

Multiplicar:

1 i = i

= e^{2} i - i

= - \frac{e ^{2} i - i}{2 e}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{e ^{2} i - i}{2 e} = - (\frac{e ^{2} i}{2 e}) - (- \frac{i}{2 e})

= - (\frac{e ^{2} i}{2 e}) - (- \frac{i}{2 e})

Quitar los parentesis:

(a) = a, - (- a) = a

= - \frac{e ^{2} i}{2 e} + \frac{i}{2 e}

Cancelar

\frac{e ^{2} i}{2 e} : \frac{e i}{2}

\frac{e ^{2} i}{2 e}

Eliminar los terminos comunes:

e

= \frac{e i}{2}

= - \frac{e i}{2} + \frac{i}{2 e}

Agrupar la parte real y la parte imaginaria del número complejo

= (- \frac{e}{2} + \frac{1}{2 e}) i

- \frac{e}{2} + \frac{1}{2 e} = \frac{- e ^{2} + 1}{2 e}

- \frac{e}{2} + \frac{1}{2 e}

Mínimo común múltiplo de

2, 2 e : 2 e

2, 2 e

Mínimo común múltiplo (MCM)

Mínimo común múltiplo de

2, 2 : 2

2, 2

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Descomposición en factores primos de

2 : 2

2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar

= 2

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

2

2

= 2

Multiplicar los numeros:

2 = 2

= 2

Calcular una expresión que este compuesta de factores que aparezcan tanto en

2

2 e

= 2 e

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{e}{2} :

multiplicar el denominador y el numerador por

e

\frac{e}{2} = \frac{ee}{2 e} = \frac{e ^{2}}{2 e}

= - \frac{e ^{2}}{2 e} + \frac{1}{2 e}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- e ^{2} + 1}{2 e}

= \frac{- e ^{2} + 1}{2 e} i

= \frac{- e ^{2} + 1}{2 e} i

= i \frac{1 - e ^{2}}{2 e}

Ejemplos populares

cos(pi+pi)

cos (π + π)

arctan(-2.42)

arctan (- 2.42)

arcsin(15/20)

arcsin (\frac{15}{20})

arccos(19/25)

arccos (\frac{19}{25})

sin((5pi)/3-pi/4)

sin (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{4})