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2sin^2(x)+3cos(x)=3

Solução

2 sin^{2} (x) + 3 cos (x) = 3

Solução

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = 2 πn

Graus

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

2 sin^{2} (x) + 3 cos (x) = 3

Subtrair

3

de ambos os lados

2 sin^{2} (x) + 3 cos (x) - 3 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 3 + 2 sin^{2} (x) + 3 cos (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 3 + 2 (1 - cos^{2} (x)) + 3 cos (x)

Simplificar

- 3 + 2 (1 - cos^{2} (x)) + 3 cos (x) : 3 cos (x) - 2 cos^{2} (x) - 1

- 3 + 2 (1 - cos^{2} (x)) + 3 cos (x)

Expandir

2 (1 - cos^{2} (x)) : 2 - 2 cos^{2} (x)

2 (1 - cos^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 2 \cdot 1 - 2 cos^{2} (x)

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 cos^{2} (x)

= - 3 + 2 - 2 cos^{2} (x) + 3 cos (x)

Somar/subtrair:

- 3 + 2 = - 1

= 3 cos (x) - 2 cos^{2} (x) - 1

= 3 cos (x) - 2 cos^{2} (x) - 1

- 1 - 2 cos^{2} (x) + 3 cos (x) = 0

Usando o método de substituição

- 1 - 2 cos^{2} (x) + 3 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 1 - 2 u^{2} + 3 u = 0

- 1 - 2 u^{2} + 3 u = 0 : u = \frac{1}{2}, u = 1

- 1 - 2 u^{2} + 3 u = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + 3 u - 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 2 u^{2} + 3 u - 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 2, b = 3, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 ( - 2 ) ( - 1 )}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 ( - 2 ) ( - 1 )}{2 ( - 2 )}

3^{2} - 4 (- 2) (- 1) = 1

3^{2} - 4 (- 2) (- 1)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 3^{2} - 8

3^{2} = 9

= 9 - 8

Subtrair:

9 - 8 = 1

= 1

Aplicar a regra

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 1}{2 ( - 2 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 3 + 1}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 3 - 1}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 3 + 1}{2 ( - 2 )} : \frac{1}{2}

\frac{- 3 + 1}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 3 + 1}{- 2 \cdot 2}

Somar/subtrair:

- 3 + 1 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{- 4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 3 - 1}{2 ( - 2 )} : 1

\frac{- 3 - 1}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 3 - 1}{- 2 \cdot 2}

Subtrair:

- 3 - 1 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{- 4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{4}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{1}{2}, u = 1

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = 1

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = 1

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Soluções gerais para

cos (x) = 1

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = 2 πn

Exemplos populares

sin^2(x)=cos^2(x)

sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

2sin(2x)=1,0<= x<= 2pi

2 sin (2 x) = 1, 0 \leq x \leq 2 π

sin(θ)= 1/4

sin (θ) = \frac{1}{4}

2sin(θ)+3=2

2 sin (θ) + 3 = 2

sqrt(3)sin(θ)+cos(θ)=0

3 sin (θ) + cos (θ) = 0