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cos(θ)-sqrt(3)sin(θ)=1

Soluzione

cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

Soluzione

θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = 2 πn

Gradi

θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

Aggiungi

3 sin (θ)

ad entrambi i lati

cos (θ) = 1 + 3 sin (θ)

Eleva entrambi i lati al quadrato

cos^{2} (θ) = (1 + 3 sin (θ))^{2}

Sottrarre

(1 + 3 sin (θ))^{2}

da entrambi i lati

cos^{2} (θ) - 1 - 23 sin (θ) - 3 sin^{2} (θ) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 1 + cos^{2} (θ) - 3 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) 3

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= - 3 sin^{2} (θ) - 23 sin (θ) - sin^{2} (θ)

Semplificare

= - 4 sin^{2} (θ) - 23 sin (θ)

- 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) 3 = 0

Risolvi per sostituzione

- 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) 3 = 0

Sia:

sin (θ) = u

- 4 u^{2} - 2 u 3 = 0

- 4 u^{2} - 2 u 3 = 0 : u = - \frac{3}{2}, u = 0

- 4 u^{2} - 2 u 3 = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 23 u = 0

Risolvi con la formula quadratica

- 4 u^{2} - 23 u = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 4, b = - 23, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm ( - 2 3 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 0}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm ( - 2 3 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 0}{2 ( - 4 )}

(- 23)^{2} - 4 (- 4) \cdot 0 = 23

(- 23)^{2} - 4 (- 4) \cdot 0

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 23)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 0

(- 23)^{2} = 2^{2} \cdot 3

(- 23)^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 23)^{2} = (23)^{2}

= (23)^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (3)^{2}

(3)^{2} : 3

Applicare la regola della radice:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= 1

= 3

= 2^{2} \cdot 3

4 \cdot 4 \cdot 0 = 0

4 \cdot 4 \cdot 0

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0

= 2^{2} \cdot 3 + 0

2^{2} \cdot 3 + 0 = 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Applicare la regola della radice:

assumendo

a \geq 0, b \geq 0

= 3 2^{2}

Applicare la regola della radice:

assumendo

a \geq 0

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm 2 3}{2 ( - 4 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 2 3 ) + 2 3}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 3 ) - 2 3}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 2 3 ) + 2 3}{2 ( - 4 )} : - \frac{3}{2}

\frac{- ( - 2 3 ) + 2 3}{2 ( - 4 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 3 + 2 3}{- 2 \cdot 4}

Aggiungi elementi simili:

23 + 23 = 43

= \frac{4 3}{- 2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4 3}{- 8}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 3}{8}

Cancella il fattore comune:

4

= - \frac{3}{2}

u = \frac{- ( - 2 3 ) - 2 3}{2 ( - 4 )} : 0

\frac{- ( - 2 3 ) - 2 3}{2 ( - 4 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 3 - 2 3}{- 2 \cdot 4}

Aggiungi elementi simili:

23 - 23 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{0}{- 8}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{8}

Applicare la regola

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = - \frac{3}{2}, u = 0

Sostituire indietro

u = sin (θ)

sin (θ) = - \frac{3}{2}, sin (θ) = 0

sin (θ) = - \frac{3}{2}, sin (θ) = 0

sin (θ) = - \frac{3}{2} : θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{3}{2}

Soluzioni generali per

sin (θ) = - \frac{3}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Soluzioni generali per

sin (θ) = 0

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Risolvi

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn, θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

\frac{4 π}{3} + 2 πn :

Vero

\frac{4 π}{3} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{4 π}{3} + 2 π 1

Per

cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

inserisci la

θ = \frac{4 π}{3} + 2 π 1

cos (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) - 3 sin (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) = 1

Affinare

1 = 1

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

\frac{5 π}{3} + 2 πn :

Falso

\frac{5 π}{3} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

Per

cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

inserisci la

θ = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

cos (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) - 3 sin (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) = 1

Affinare

2 = 1

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

2 πn :

Vero

2 πn

Inserire in

n = 1

2 π 1

Per

cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

inserisci la

θ = 2 π 1

cos (2 π 1) - 3 sin (2 π 1) = 1

Affinare

1 = 1

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

π + 2 πn :

Falso

π + 2 πn

Inserire in

n = 1

π + 2 π 1

Per

cos (θ) - 3 sin (θ) = 1

inserisci la

θ = π + 2 π 1

cos (π + 2 π 1) - 3 sin (π + 2 π 1) = 1

Affinare

- 1 = 1

\Rightarrow Falso

θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn, θ = 2 πn

Esempi popolari

sec(x)= 1/2

sec (x) = \frac{1}{2}

2cos^2(x)=sin(x)+1

2 cos^{2} (x) = sin (x) + 1

csch(x)= 5/12

csch (x) = \frac{5}{12}

2sin^2(x)+sin(x)=1,0<= x<= 2pi

2 sin^{2} (x) + sin (x) = 1, 0 \leq x \leq 2 π

3csc^2(5x)=-4

3 csc^{2} (5 x) = - 4