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3(1-cos(θ))=sin^2(θ)

Solução

3 (1 - cos (θ)) = sin^{2} (θ)

Solução

θ = 2 πn

Graus

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

3 (1 - cos (θ)) = sin^{2} (θ)

Subtrair

sin^{2} (θ)

de ambos os lados

3 (1 - cos (θ)) - sin^{2} (θ) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- sin^{2} (θ) + (1 - cos (θ)) \cdot 3

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - (1 - cos^{2} (θ)) + (1 - cos (θ)) \cdot 3

Simplificar

- (1 - cos^{2} (θ)) + (1 - cos (θ)) \cdot 3 : cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) + 2

- (1 - cos^{2} (θ)) + (1 - cos (θ)) \cdot 3

= - (1 - cos^{2} (θ)) + 3 (1 - cos (θ))

- (1 - cos^{2} (θ)) : - 1 + cos^{2} (θ)

- (1 - cos^{2} (θ))

Colocar os parênteses

= - (1) - (- cos^{2} (θ))

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (θ)

= - 1 + cos^{2} (θ) + (1 - cos (θ)) \cdot 3

Expandir

3 (1 - cos (θ)) : 3 - 3 cos (θ)

3 (1 - cos (θ))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = cos (θ)

= 3 \cdot 1 - 3 cos (θ)

Multiplicar os números:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 cos (θ)

= - 1 + cos^{2} (θ) + 3 - 3 cos (θ)

Simplificar

- 1 + cos^{2} (θ) + 3 - 3 cos (θ) : cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) + 2

- 1 + cos^{2} (θ) + 3 - 3 cos (θ)

Agrupar termos semelhantes

= cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) - 1 + 3

Somar/subtrair:

- 1 + 3 = 2

= cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) + 2

= cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) + 2

= cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) + 2

2 + cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) = 0

Usando o método de substituição

2 + cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) = 0

Sea:

cos (θ) = u

2 + u^{2} - 3 u = 0

2 + u^{2} - 3 u = 0 : u = 2, u = 1

2 + u^{2} - 3 u = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 3 u + 2 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

u^{2} - 3 u + 2 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 1, b = - 3, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 1}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1

(- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 3^{2} - 8

3^{2} = 9

= 9 - 8

Subtrair:

9 - 8 = 1

= 1

Aplicar a regra

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 1}{2 \cdot 1}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 1} : 2

\frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 1}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{3 + 1}{2 \cdot 1}

Somar:

3 + 1 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4}{2}

Dividir:

\frac{4}{2} = 2

= 2

u = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 1} : 1

\frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 1}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{3 - 1}{2 \cdot 1}

Subtrair:

3 - 1 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{2}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = 2, u = 1

Substituir na equação

u = cos (θ)

cos (θ) = 2, cos (θ) = 1

cos (θ) = 2, cos (θ) = 1

cos (θ) = 2 :

Sem solução

cos (θ) = 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Soluções gerais para

cos (θ) = 1

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Resolver

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

Combinar toda as soluções

θ = 2 πn

Exemplos populares

3tan(x)-3=0

3 tan (x) - 3 = 0

2sin(θ/3)+sqrt(3)=0

2 sin (\frac{θ}{3}) + 3 = 0

6sin(4x)+4=5

6 sin (4 x) + 4 = 5

29cos(x)=-17-cos(x)

29 cos (x) = - 17 - cos (x)

2cos(x)+2cos(2x)=0

2 cos (x) + 2 cos (2 x) = 0