English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Phổ biến >

sin^3(x)+sin(x)=2cos^2(x)

Lời Giải

sin^{3} (x) + sin (x) = 2 cos^{2} (x)

Lời Giải

x = 0.76928 \dots + 2 πn, x = π - 0.76928 \dots + 2 πn

Độ

x = 44.07670 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 135.92329 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Các bước giải pháp

sin^{3} (x) + sin (x) = 2 cos^{2} (x)

Trừ

2 cos^{2} (x)

cho cả hai bên

sin^{3} (x) + sin (x) - 2 cos^{2} (x) = 0

Viết lại bằng cách sử dụng hằng đẳng thức lượng giác

sin (x) + sin^{3} (x) - 2 cos^{2} (x)

Sử dụng hằng đẳng thức Pitago:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= sin (x) + sin^{3} (x) - 2 (1 - sin^{2} (x))

sin (x) + sin^{3} (x) - (1 - sin^{2} (x)) \cdot 2 = 0

Giải quyết bằng cách thay thế

sin (x) + sin^{3} (x) - (1 - sin^{2} (x)) \cdot 2 = 0

Cho:

sin (x) = u

u + u^{3} - (1 - u^{2}) \cdot 2 = 0

u + u^{3} - (1 - u^{2}) \cdot 2 = 0 : u \approx 0.69562 \dots

u + u^{3} - (1 - u^{2}) \cdot 2 = 0

Mở rộng

u + u^{3} - (1 - u^{2}) \cdot 2 : u + u^{3} - 2 + 2 u^{2}

u + u^{3} - (1 - u^{2}) \cdot 2

= u + u^{3} - 2 (1 - u^{2})

Mở rộng

- 2 (1 - u^{2}) : - 2 + 2 u^{2}

- 2 (1 - u^{2})

Áp dụng luật phân phối:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = u^{2}

= - 2 \cdot 1 - (- 2) u^{2}

Áp dụng quy tắc trừ-cộng

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 u^{2}

Nhân các số:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 u^{2}

= u + u^{3} - 2 + 2 u^{2}

u + u^{3} - 2 + 2 u^{2} = 0

Viết ở dạng chuẩn

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{3} + 2 u^{2} + u - 2 = 0

Tìm một lời giải cho

u^{3} + 2 u^{2} + u - 2 = 0

bằng Newton-Raphson:

u \approx 0.69562 \dots

u^{3} + 2 u^{2} + u - 2 = 0

Định nghĩa xấp xỉ Newton-Raphson

f (u) = u^{3} + 2 u^{2} + u - 2

Tìm

f^{^{'}} (u) : 3 u^{2} + 4 u + 1

\frac{d}{d u} (u^{3} + 2 u^{2} + u - 2)

Áp dụng quy tắc Đạo hàm của một Tổng:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= \frac{d}{d u} (u^{3}) + \frac{d}{d u} (2 u^{2}) + \frac{d u}{d u} - \frac{d}{d u} (2)

\frac{d}{d u} (u^{3}) = 3 u^{2}

\frac{d}{d u} (u^{3})

Áp dụng Quy tắc Lũy thừa:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 3 u^{3 - 1}

Rút gọn

= 3 u^{2}

\frac{d}{d u} (2 u^{2}) = 4 u

\frac{d}{d u} (2 u^{2})

Đưa hằng số ra ngoài:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 2 \frac{d}{d u} (u^{2})

Áp dụng Quy tắc Lũy thừa:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 2 \cdot 2 u^{2 - 1}

Rút gọn

= 4 u

\frac{d u}{d u} = 1

\frac{d u}{d u}

Áp dụng đạo hàm chung:

\frac{d u}{d u} = 1

= 1

\frac{d}{d u} (2) = 0

\frac{d}{d u} (2)

Đạo hàm của một hằng số:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= 3 u^{2} + 4 u + 1 - 0

Rút gọn

= 3 u^{2} + 4 u + 1

Cho

u_{0} = 2

Tính

u_{n + 1}

cho đến

Δ u_{n + 1} < 0.000001

u_{1} = 1.23809 \dots : Δ u_{1} = 0.76190 \dots

f (u_{0}) = 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} + 2 - 2 = 16

f^{^{'}} (u_{0}) = 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 1 = 21

u_{1} = 1.23809 \dots

Δ u_{1} = ∣ 1.23809 \dots - 2 ∣ = 0.76190 \dots

Δ u_{1} = 0.76190 \dots

u_{2} = 0.83986 \dots : Δ u_{2} = 0.39822 \dots

f (u_{1}) = 1.23809 \dots^{3} + 2 \cdot 1.23809 \dots^{2} + 1.23809 \dots - 2 = 4.20170 \dots

f^{^{'}} (u_{1}) = 3 \cdot 1.23809 \dots^{2} + 4 \cdot 1.23809 \dots + 1 = 10.55102 \dots

u_{2} = 0.83986 \dots

Δ u_{2} = ∣ 0.83986 \dots - 1.23809 \dots ∣ = 0.39822 \dots

Δ u_{2} = 0.39822 \dots

u_{3} = 0.70967 \dots : Δ u_{3} = 0.13018 \dots

f (u_{2}) = 0.83986 \dots^{3} + 2 \cdot 0.83986 \dots^{2} + 0.83986 \dots - 2 = 0.84304 \dots

f^{^{'}} (u_{2}) = 3 \cdot 0.83986 \dots^{2} + 4 \cdot 0.83986 \dots + 1 = 6.47560 \dots

u_{3} = 0.70967 \dots

Δ u_{3} = ∣ 0.70967 \dots - 0.83986 \dots ∣ = 0.13018 \dots

Δ u_{3} = 0.13018 \dots

u_{4} = 0.69577 \dots : Δ u_{4} = 0.01390 \dots

f (u_{3}) = 0.70967 \dots^{3} + 2 \cdot 0.70967 \dots^{2} + 0.70967 \dots - 2 = 0.07439 \dots

f^{^{'}} (u_{3}) = 3 \cdot 0.70967 \dots^{2} + 4 \cdot 0.70967 \dots + 1 = 5.34965 \dots

u_{4} = 0.69577 \dots

Δ u_{4} = ∣ 0.69577 \dots - 0.70967 \dots ∣ = 0.01390 \dots

Δ u_{4} = 0.01390 \dots

u_{5} = 0.69562 \dots : Δ u_{5} = 0.00015 \dots

f (u_{4}) = 0.69577 \dots^{3} + 2 \cdot 0.69577 \dots^{2} + 0.69577 \dots - 2 = 0.00079 \dots

f^{^{'}} (u_{4}) = 3 \cdot 0.69577 \dots^{2} + 4 \cdot 0.69577 \dots + 1 = 5.23539 \dots

u_{5} = 0.69562 \dots

Δ u_{5} = ∣ 0.69562 \dots - 0.69577 \dots ∣ = 0.00015 \dots

Δ u_{5} = 0.00015 \dots

u_{6} = 0.69562 \dots : Δ u_{6} = 1.80445 E - 8

f (u_{5}) = 0.69562 \dots^{3} + 2 \cdot 0.69562 \dots^{2} + 0.69562 \dots - 2 = 9.44475 E - 8

f^{^{'}} (u_{5}) = 3 \cdot 0.69562 \dots^{2} + 4 \cdot 0.69562 \dots + 1 = 5.23414 \dots

u_{6} = 0.69562 \dots

Δ u_{6} = ∣ 0.69562 \dots - 0.69562 \dots ∣ = 1.80445 E - 8

Δ u_{6} = 1.80445 E - 8

u \approx 0.69562 \dots

Áp dụng phép chia số lớn:

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} + u - 2}{u - 0.69562 \dots} = u^{2} + 2.69562 \dots u + 2.87512 \dots

u^{2} + 2.69562 \dots u + 2.87512 \dots \approx 0

Tìm một lời giải cho

u^{2} + 2.69562 \dots u + 2.87512 \dots = 0

bằng Newton-Raphson:

Không có nghiệm cho

u \in R

u^{2} + 2.69562 \dots u + 2.87512 \dots = 0

Định nghĩa xấp xỉ Newton-Raphson

f (u) = u^{2} + 2.69562 \dots u + 2.87512 \dots

Tìm

f^{^{'}} (u) : 2 u + 2.69562 \dots

\frac{d}{d u} (u^{2} + 2.69562 \dots u + 2.87512 \dots)

Áp dụng quy tắc Đạo hàm của một Tổng:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= \frac{d}{d u} (u^{2}) + \frac{d}{d u} (2.69562 \dots u) + \frac{d}{d u} (2.87512 \dots)

\frac{d}{d u} (u^{2}) = 2 u

\frac{d}{d u} (u^{2})

Áp dụng Quy tắc Lũy thừa:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 2 u^{2 - 1}

Rút gọn

= 2 u

\frac{d}{d u} (2.69562 \dots u) = 2.69562 \dots

\frac{d}{d u} (2.69562 \dots u)

Đưa hằng số ra ngoài:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 2.69562 \dots \frac{d u}{d u}

Áp dụng đạo hàm chung:

\frac{d u}{d u} = 1

= 2.69562 \dots \cdot 1

Rút gọn

= 2.69562 \dots

\frac{d}{d u} (2.87512 \dots) = 0

\frac{d}{d u} (2.87512 \dots)

Đạo hàm của một hằng số:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= 2 u + 2.69562 \dots + 0

Rút gọn

= 2 u + 2.69562 \dots

Cho

u_{0} = - 1

Tính

u_{n + 1}

cho đến

Δ u_{n + 1} < 0.000001

u_{1} = - 2.69562 \dots : Δ u_{1} = 1.69562 \dots

f (u_{0}) = (- 1)^{2} + 2.69562 \dots (- 1) + 2.87512 \dots = 1.17950 \dots

f^{^{'}} (u_{0}) = 2 (- 1) + 2.69562 \dots = 0.69562 \dots

u_{1} = - 2.69562 \dots

Δ u_{1} = ∣ - 2.69562 \dots - (- 1) ∣ = 1.69562 \dots

Δ u_{1} = 1.69562 \dots

u_{2} = - 1.62902 \dots : Δ u_{2} = 1.06659 \dots

f (u_{1}) = (- 2.69562 \dots)^{2} + 2.69562 \dots (- 2.69562 \dots) + 2.87512 \dots = 2.87512 \dots

f^{^{'}} (u_{1}) = 2 (- 2.69562 \dots) + 2.69562 \dots = - 2.69562 \dots

u_{2} = - 1.62902 \dots

Δ u_{2} = ∣ - 1.62902 \dots - (- 2.69562 \dots) ∣ = 1.06659 \dots

Δ u_{2} = 1.06659 \dots

u_{3} = 0.39364 \dots : Δ u_{3} = 2.02266 \dots

f (u_{2}) = (- 1.62902 \dots)^{2} + 2.69562 \dots (- 1.62902 \dots) + 2.87512 \dots = 1.13762 \dots

f^{^{'}} (u_{2}) = 2 (- 1.62902 \dots) + 2.69562 \dots = - 0.56243 \dots

u_{3} = 0.39364 \dots

Δ u_{3} = ∣ 0.39364 \dots - (- 1.62902 \dots) ∣ = 2.02266 \dots

Δ u_{3} = 2.02266 \dots

u_{4} = - 0.78100 \dots : Δ u_{4} = 1.17464 \dots

f (u_{3}) = 0.39364 \dots^{2} + 2.69562 \dots \cdot 0.39364 \dots + 2.87512 \dots = 4.09119 \dots

f^{^{'}} (u_{3}) = 2 \cdot 0.39364 \dots + 2.69562 \dots = 3.48290 \dots

u_{4} = - 0.78100 \dots

Δ u_{4} = ∣ - 0.78100 \dots - 0.39364 \dots ∣ = 1.17464 \dots

Δ u_{4} = 1.17464 \dots

u_{5} = - 1.99818 \dots : Δ u_{5} = 1.21718 \dots

f (u_{4}) = (- 0.78100 \dots)^{2} + 2.69562 \dots (- 0.78100 \dots) + 2.87512 \dots = 1.37980 \dots

f^{^{'}} (u_{4}) = 2 (- 0.78100 \dots) + 2.69562 \dots = 1.13360 \dots

u_{5} = - 1.99818 \dots

Δ u_{5} = ∣ - 1.99818 \dots - (- 0.78100 \dots) ∣ = 1.21718 \dots

Δ u_{5} = 1.21718 \dots

u_{6} = - 0.85921 \dots : Δ u_{6} = 1.13897 \dots

f (u_{5}) = (- 1.99818 \dots)^{2} + 2.69562 \dots (- 1.99818 \dots) + 2.87512 \dots = 1.48152 \dots

f^{^{'}} (u_{5}) = 2 (- 1.99818 \dots) + 2.69562 \dots = - 1.30075 \dots

u_{6} = - 0.85921 \dots

Δ u_{6} = ∣ - 0.85921 \dots - (- 1.99818 \dots) ∣ = 1.13897 \dots

Δ u_{6} = 1.13897 \dots

u_{7} = - 2.18675 \dots : Δ u_{7} = 1.32754 \dots

f (u_{6}) = (- 0.85921 \dots)^{2} + 2.69562 \dots (- 0.85921 \dots) + 2.87512 \dots = 1.29726 \dots

f^{^{'}} (u_{6}) = 2 (- 0.85921 \dots) + 2.69562 \dots = 0.97719 \dots

u_{7} = - 2.18675 \dots

Δ u_{7} = ∣ - 2.18675 \dots - (- 0.85921 \dots) ∣ = 1.32754 \dots

Δ u_{7} = 1.32754 \dots

u_{8} = - 1.13641 \dots : Δ u_{8} = 1.05034 \dots

f (u_{7}) = (- 2.18675 \dots)^{2} + 2.69562 \dots (- 2.18675 \dots) + 2.87512 \dots = 1.76236 \dots

f^{^{'}} (u_{7}) = 2 (- 2.18675 \dots) + 2.69562 \dots = - 1.67789 \dots

u_{8} = - 1.13641 \dots

Δ u_{8} = ∣ - 1.13641 \dots - (- 2.18675 \dots) ∣ = 1.05034 \dots

Δ u_{8} = 1.05034 \dots

u_{9} = - 3.74574 \dots : Δ u_{9} = 2.60933 \dots

f (u_{8}) = (- 1.13641 \dots)^{2} + 2.69562 \dots (- 1.13641 \dots) + 2.87512 \dots = 1.10322 \dots

f^{^{'}} (u_{8}) = 2 (- 1.13641 \dots) + 2.69562 \dots = 0.42279 \dots

u_{9} = - 3.74574 \dots

Δ u_{9} = ∣ - 3.74574 \dots - (- 1.13641 \dots) ∣ = 2.60933 \dots

Δ u_{9} = 2.60933 \dots

Không thể tìm được lời giải

Giải pháp là

u \approx 0.69562 \dots

Thay thế lại

u = sin (x)

sin (x) \approx 0.69562 \dots

sin (x) \approx 0.69562 \dots

sin (x) = 0.69562 \dots : x = arcsin (0.69562 \dots) + 2 πn, x = π - arcsin (0.69562 \dots) + 2 πn

sin (x) = 0.69562 \dots

Áp dụng tính chất nghịch đảo lượng giác

sin (x) = 0.69562 \dots

Các lời giải chung cho

sin (x) = 0.69562 \dots

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (0.69562 \dots) + 2 πn, x = π - arcsin (0.69562 \dots) + 2 πn

x = arcsin (0.69562 \dots) + 2 πn, x = π - arcsin (0.69562 \dots) + 2 πn

Kết hợp tất cả các cách giải

x = arcsin (0.69562 \dots) + 2 πn, x = π - arcsin (0.69562 \dots) + 2 πn

Hiển thị các lời giải ở dạng thập phân

x = 0.76928 \dots + 2 πn, x = π - 0.76928 \dots + 2 πn

Ví dụ phổ biến

4sin^2(x)+2cos^2(x)=3

4 sin^{2} (x) + 2 cos^{2} (x) = 3

cos^2(θ)-3sin(2θ)+sin^2(θ)+2sin^2(2θ)=0

cos^{2} (θ) - 3 sin (2 θ) + sin^{2} (θ) + 2 sin^{2} (2 θ) = 0

tan^2(x)cos(x)+cos^2(x)=1

tan^{2} (x) cos (x) + cos^{2} (x) = 1

sinh(x)= 3/2

sinh (x) = \frac{3}{2}

a=2sin(30+x)-cos(x)

a = 2 sin (3 0^{\circ} + x) - cos (x)