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9sinh(x)-5cosh(x)=15

Soluzione

9 sinh (x) - 5 cosh (x) = 15

Soluzione

x = ln (\frac{15 + 281}{4})

Gradi

x = 118.71739 \dots^{\circ}

Fasi della soluzione

9 sinh (x) - 5 cosh (x) = 15

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

9 sinh (x) - 5 cosh (x) = 15

Usa l'identità iperbolica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

9 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} - 5 cosh (x) = 15

Usa l'identità iperbolica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

9 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 15

9 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 15

9 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 15 : x = ln (\frac{15 + 281}{4})

9 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 15

Applica le regole dell'esponente

9 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 15

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

9 \cdot \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} = 15

9 \cdot \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} = 15

Riscrivi l'equazione con

e^{x} = u

9 \cdot \frac{u - ( u ) ^{- 1}}{2} - 5 \cdot \frac{u + ( u ) ^{- 1}}{2} = 15

Risolvi

9 \cdot \frac{u - u ^{- 1}}{2} - 5 \cdot \frac{u + u ^{- 1}}{2} = 15 : u = \frac{15 + 281}{4}, u = \frac{15 - 281}{4}

9 \cdot \frac{u - u ^{- 1}}{2} - 5 \cdot \frac{u + u ^{- 1}}{2} = 15

Affinare

\frac{9 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} - \frac{5 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} = 15

Moltiplica entrambi i lati per

2 u

\frac{9 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} - \frac{5 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} = 15

Moltiplica entrambi i lati per

2 u

\frac{9 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u - \frac{5 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} \cdot 2 u = 15 \cdot 2 u

Semplificare

\frac{9 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u - \frac{5 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} \cdot 2 u = 15 \cdot 2 u

Semplificare

\frac{9 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u : 9 (u^{2} - 1)

\frac{9 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{9 ( u ^{2} - 1 ) \cdot 2 u}{2 u}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{9 ( u ^{2} - 1 ) u}{u}

Cancella il fattore comune:

u

= 9 (u^{2} - 1)

Semplificare

- \frac{5 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} \cdot 2 u : - 5 (u^{2} + 1)

- \frac{5 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} \cdot 2 u

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{5 ( u ^{2} + 1 ) \cdot 2 u}{2 u}

Cancella il fattore comune:

2

= - \frac{5 ( u ^{2} + 1 ) u}{u}

Cancella il fattore comune:

u

= - 5 (u^{2} + 1)

Semplificare

15 \cdot 2 u : 30 u

15 \cdot 2 u

Moltiplica i numeri:

15 \cdot 2 = 30

= 30 u

9 (u^{2} - 1) - 5 (u^{2} + 1) = 30 u

9 (u^{2} - 1) - 5 (u^{2} + 1) = 30 u

9 (u^{2} - 1) - 5 (u^{2} + 1) = 30 u

Risolvi

9 (u^{2} - 1) - 5 (u^{2} + 1) = 30 u : u = \frac{15 + 281}{4}, u = \frac{15 - 281}{4}

9 (u^{2} - 1) - 5 (u^{2} + 1) = 30 u

Espandere

9 (u^{2} - 1) - 5 (u^{2} + 1) : 4 u^{2} - 14

9 (u^{2} - 1) - 5 (u^{2} + 1)

Espandi

9 (u^{2} - 1) : 9 u^{2} - 9

9 (u^{2} - 1)

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = u^{2}, c = 1

= 9 u^{2} - 9 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

9 \cdot 1 = 9

= 9 u^{2} - 9

= 9 u^{2} - 9 - 5 (u^{2} + 1)

Espandi

- 5 (u^{2} + 1) : - 5 u^{2} - 5

- 5 (u^{2} + 1)

Applicare la legge della distribuzione:

a (b + c) = ab + a c

a = - 5, b = u^{2}, c = 1

= - 5 u^{2} + (- 5) \cdot 1

Applicare le regole di sottrazione-addizione

+ (- a) = - a

= - 5 u^{2} - 5 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

5 \cdot 1 = 5

= - 5 u^{2} - 5

= 9 u^{2} - 9 - 5 u^{2} - 5

Semplifica

9 u^{2} - 9 - 5 u^{2} - 5 : 4 u^{2} - 14

9 u^{2} - 9 - 5 u^{2} - 5

Raggruppa termini simili

= 9 u^{2} - 5 u^{2} - 9 - 5

Aggiungi elementi simili:

9 u^{2} - 5 u^{2} = 4 u^{2}

= 4 u^{2} - 9 - 5

Sottrai i numeri:

- 9 - 5 = - 14

= 4 u^{2} - 14

= 4 u^{2} - 14

4 u^{2} - 14 = 30 u

Spostare

30 u

a sinistra dell'equazione

4 u^{2} - 14 = 30 u

Sottrarre

30 u

da entrambi i lati

4 u^{2} - 14 - 30 u = 30 u - 30 u

Semplificare

4 u^{2} - 14 - 30 u = 0

4 u^{2} - 14 - 30 u = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 30 u - 14 = 0

Risolvi con la formula quadratica

4 u^{2} - 30 u - 14 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 4, b = - 30, c = - 14

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm ( - 30 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 14 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm ( - 30 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 14 )}{2 \cdot 4}

(- 30)^{2} - 4 \cdot 4 (- 14) = 2281

(- 30)^{2} - 4 \cdot 4 (- 14)

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 30)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 14

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 30)^{2} = 3 0^{2}

= 3 0^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 14

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 4 \cdot 14 = 224

= 3 0^{2} + 224

3 0^{2} = 900

= 900 + 224

Aggiungi i numeri:

900 + 224 = 1124

= 1124

Fattorizzazione prima di

1124 : 2^{2} \cdot 281

1124

1124

diviso per

21124 = 562 \cdot 2

= 2 \cdot 562

562

diviso per

2562 = 281 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 281

2, 281

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 281

= 2^{2} \cdot 281

= 2^{2} \cdot 281

Applicare la regola della radice:

= 281 2^{2}

Applicare la regola della radice:

2^{2} = 2

= 2281

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm 2 281}{2 \cdot 4}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 30 ) + 2 281}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 30 ) - 2 281}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 30 ) + 2 281}{2 \cdot 4} : \frac{15 + 281}{4}

\frac{- ( - 30 ) + 2 281}{2 \cdot 4}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{30 + 2 281}{2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{30 + 2 281}{8}

Fattorizza

30 + 2281 : 2 (15 + 281)

30 + 2281

Riscrivi come

= 2 \cdot 15 + 2281

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (15 + 281)

= \frac{2 ( 15 + 281 )}{8}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{15 + 281}{4}

u = \frac{- ( - 30 ) - 2 281}{2 \cdot 4} : \frac{15 - 281}{4}

\frac{- ( - 30 ) - 2 281}{2 \cdot 4}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{30 - 2 281}{2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{30 - 2 281}{8}

Fattorizza

30 - 2281 : 2 (15 - 281)

30 - 2281

Riscrivi come

= 2 \cdot 15 - 2281

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (15 - 281)

= \frac{2 ( 15 - 281 )}{8}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{15 - 281}{4}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = \frac{15 + 281}{4}, u = \frac{15 - 281}{4}

u = \frac{15 + 281}{4}, u = \frac{15 - 281}{4}

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

9 \frac{u - u ^{- 1}}{2} - 5 \frac{u + u ^{- 1}}{2}

e confrontare con zero

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = \frac{15 + 281}{4}, u = \frac{15 - 281}{4}

u = \frac{15 + 281}{4}, u = \frac{15 - 281}{4}

Sostituisci

u = e^{x},

risolvi per

x

Risolvi

e^{x} = \frac{15 + 281}{4} : x = ln (\frac{15 + 281}{4})

e^{x} = \frac{15 + 281}{4}

Applica le regole dell'esponente

e^{x} = \frac{15 + 281}{4}

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{15 + 281}{4})

Applica la regola del logaritmo:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{15 + 281}{4})

x = ln (\frac{15 + 281}{4})

Risolvi

e^{x} = \frac{15 - 281}{4} :

Nessuna soluzione per

x \in R

e^{x} = \frac{15 - 281}{4}

a^{f(x)} non può essere zero o negativo per x\in\mathbb{R}

Nessuna soluzione per x \in R

x = ln (\frac{15 + 281}{4})

x = ln (\frac{15 + 281}{4})

Esempi popolari

sin(x)-sqrt(3-3sin^2(x))=0

sin (x) - 3 - 3 sin^{2} (x) = 0

cos(2x)-cos(x)+1=0

cos (2 x) - cos (x) + 1 = 0

4tan^2(x)+21tan(x)-49=0

4 tan^{2} (x) + 21 tan (x) - 49 = 0

cot(x)=csc(x)+1

cot (x) = csc (x) + 1

(sin(8))/(30)=(sin(x))/(120)

\frac{sin ( 8 )}{30} = \frac{sin ( x )}{120}