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arctan(2x)+arctan(3x)= pi/4

Solución

arctan (2 x) + arctan (3 x) = \frac{π}{4}

Solución

x = \frac{1}{6}

Pasos de solución

arctan (2 x) + arctan (3 x) = \frac{π}{4}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

arctan (2 x) + arctan (3 x)

Utilizar la identidad suma-producto:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x})

arctan (\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x}) = \frac{π}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

arctan (\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x}) = \frac{π}{4}

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x} = tan (\frac{π}{4})

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 1

= 1

\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x} = 1

\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x} = 1

Resolver

\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x} = 1 : x = - 1, x = \frac{1}{6}

\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x} = 1

Simplificar

\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x} : \frac{5 x}{1 - 6 x ^{2}}

\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x}

Sumar elementos similares:

2 x + 3 x = 5 x

= \frac{5 x}{1 - 2 \cdot 3 xx}

1 - 2 x \cdot 3 x = 1 - 6 x^{2}

1 - 2 x \cdot 3 x

2 x \cdot 3 x = 6 x^{2}

2 x \cdot 3 x

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= 6 xx

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= 6 x^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 6 x^{2}

= 1 - 6 x^{2}

= \frac{5 x}{1 - 6 x ^{2}}

\frac{5 x}{1 - 6 x ^{2}} = 1

Multiplicar ambos lados por

1 - 6 x^{2}

\frac{5 x}{1 - 6 x ^{2}} = 1

Multiplicar ambos lados por

1 - 6 x^{2}

\frac{5 x}{1 - 6 x ^{2}} (1 - 6 x^{2}) = 1 \cdot (1 - 6 x^{2})

Simplificar

\frac{5 x}{1 - 6 x ^{2}} (1 - 6 x^{2}) = 1 \cdot (1 - 6 x^{2})

Simplificar

\frac{5 x}{1 - 6 x ^{2}} (1 - 6 x^{2}) : 5 x

\frac{5 x}{1 - 6 x ^{2}} (1 - 6 x^{2})

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 x ( 1 - 6 x ^{2} )}{1 - 6 x ^{2}}

Eliminar los terminos comunes:

1 - 6 x^{2}

= 5 x

Simplificar

1 \cdot (1 - 6 x^{2}) : 1 - 6 x^{2}

1 \cdot (1 - 6 x^{2})

Multiplicar:

1 \cdot (1 - 6 x^{2}) = (1 - 6 x^{2})

= (1 - 6 x^{2})

Quitar los parentesis:

(a) = a

= 1 - 6 x^{2}

5 x = 1 - 6 x^{2}

5 x = 1 - 6 x^{2}

5 x = 1 - 6 x^{2}

Resolver

5 x = 1 - 6 x^{2} : x = - 1, x = \frac{1}{6}

5 x = 1 - 6 x^{2}

Intercambiar lados

1 - 6 x^{2} = 5 x

Mover

5 x

al lado izquierdo

1 - 6 x^{2} = 5 x

Restar

5 x

de ambos lados

1 - 6 x^{2} - 5 x = 5 x - 5 x

Simplificar

1 - 6 x^{2} - 5 x = 0

1 - 6 x^{2} - 5 x = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 6 x^{2} - 5 x + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 6 x^{2} - 5 x + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 6, b = - 5, c = 1

x_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 ( - 6 ) \cdot 1}{2 ( - 6 )}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 ( - 6 ) \cdot 1}{2 ( - 6 )}

(- 5)^{2} - 4 (- 6) \cdot 1 = 7

(- 5)^{2} - 4 (- 6) \cdot 1

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 5)^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 6 \cdot 1 = 24

= 5^{2} + 24

5^{2} = 25

= 25 + 24

Sumar:

25 + 24 = 49

= 49

Descomponer el número en factores primos:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

7^{2} = 7

= 7

x_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 7}{2 ( - 6 )}

Separar las soluciones

x_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 7}{2 ( - 6 )}, x_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 7}{2 ( - 6 )}

x = \frac{- ( - 5 ) + 7}{2 ( - 6 )} : - 1

\frac{- ( - 5 ) + 7}{2 ( - 6 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{5 + 7}{- 2 \cdot 6}

Sumar:

5 + 7 = 12

= \frac{12}{- 2 \cdot 6}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{12}{- 12}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{12}{12}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= - 1

x = \frac{- ( - 5 ) - 7}{2 ( - 6 )} : \frac{1}{6}

\frac{- ( - 5 ) - 7}{2 ( - 6 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{5 - 7}{- 2 \cdot 6}

Restar:

5 - 7 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 6}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 2}{- 12}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{12}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1}{6}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

x = - 1, x = \frac{1}{6}

x = - 1, x = \frac{1}{6}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

x = \frac{1}{6}, x = - \frac{1}{6}

Tomar el(los) denominador(es) de

\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x}

y comparar con cero

Resolver

1 - 2 x \cdot 3 x = 0 : x = \frac{1}{6}, x = - \frac{1}{6}

1 - 2 x \cdot 3 x = 0

Mover

1

al lado derecho

1 - 2 x \cdot 3 x = 0

Restar

1

de ambos lados

1 - 2 x \cdot 3 x - 1 = 0 - 1

Simplificar

- 2 x \cdot 3 x = - 1

- 2 x \cdot 3 x = - 1

Simplificar

- 6 x^{2} = - 1

Dividir ambos lados entre

- 6

\frac{- 6 x ^{2}}{- 6} = \frac{- 1}{- 6}

x^{2} = \frac{1}{6}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

x = \frac{1}{6}, x = - \frac{1}{6}

\frac{1}{6} = \frac{1}{6}

\frac{1}{6}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{6}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 = 1

1 = 1

= \frac{1}{6}

- \frac{1}{6} = - \frac{1}{6}

- \frac{1}{6}

Aplicar las leyes de los exponentes:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{1}{6}

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 = 1

1 = 1

= - \frac{1}{6}

x = \frac{1}{6}, x = - \frac{1}{6}

Los siguientes puntos no están definidos

x = \frac{1}{6}, x = - \frac{1}{6}

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

x = - 1, x = \frac{1}{6}

x = - 1, x = \frac{1}{6}

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

arctan (2 x) + arctan (3 x) = \frac{π}{4}

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

- 1 :

Falso

- 1

Sustituir

n = 1

- 1

Multiplicar

arctan (2 x) + arctan (3 x) = \frac{π}{4}

por

x = - 1

arctan (2 (- 1)) + arctan (3 (- 1)) = \frac{π}{4}

Simplificar

- 2.35619 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

\frac{1}{6} :

Verdadero

\frac{1}{6}

Sustituir

n = 1

\frac{1}{6}

Multiplicar

arctan (2 x) + arctan (3 x) = \frac{π}{4}

por

x = \frac{1}{6}

arctan (2 \cdot \frac{1}{6}) + arctan (3 \cdot \frac{1}{6}) = \frac{π}{4}

Simplificar

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Verdadero

x = \frac{1}{6}

Ejemplos populares

2sec^2(x)-5sec(x)-2=0

2 sec^{2} (x) - 5 sec (x) - 2 = 0

2sin(t)cos(t)=sin(t)

2 sin (t) cos (t) = sin (t)

32=37.3*sin((2pi)/(365)(x-114))+26

32 = 37.3 \cdot sin (\frac{2 π}{365} (x - 114)) + 26

2cos^2(x)+3cos(x)+1=0,(0,2pi)

2 cos^{2} (x) + 3 cos (x) + 1 = 0, (0, 2 π)

-4cos(θ)=4(1+cos(θ))

- 4 cos (θ) = 4 (1 + cos (θ))