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1/2 tan(2θ)=tan(θ)

Solución

\frac{1}{2} tan (2 θ) = tan (θ)

Solución

θ = πn

Grados

θ = 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Pasos de solución

\frac{1}{2} tan (2 θ) = tan (θ)

Restar

tan (θ)

de ambos lados

\frac{1}{2} tan (2 θ) - tan (θ) = 0

Simplificar

\frac{1}{2} tan (2 θ) - tan (θ) : \frac{tan ( 2 θ ) - 2 tan ( θ )}{2}

\frac{1}{2} tan (2 θ) - tan (θ)

\frac{1}{2} tan (2 θ) = \frac{tan ( 2 θ )}{2}

\frac{1}{2} tan (2 θ)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot tan ( 2 θ )}{2}

Multiplicar:

1 \cdot tan (2 θ) = tan (2 θ)

= \frac{tan ( 2 θ )}{2}

= \frac{tan ( 2 θ )}{2} - tan (θ)

Convertir a fracción:

tan (θ) = \frac{tan ( θ ) 2}{2}

= \frac{tan ( 2 θ )}{2} - \frac{tan ( θ ) \cdot 2}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{tan ( 2 θ ) - tan ( θ ) \cdot 2}{2}

\frac{tan ( 2 θ ) - 2 tan ( θ )}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

tan (2 θ) - 2 tan (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

tan (2 θ) - 2 tan (θ)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} - 2 tan (θ)

Simplificar

\frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} - 2 tan (θ) : \frac{2 tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

\frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} - 2 tan (θ)

Convertir a fracción:

2 tan (θ) = \frac{2 tan ( θ ) ( 1 - tan ^{2} ( θ ) )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

= \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} - \frac{2 tan ( θ ) ( 1 - tan ^{2} ( θ ) )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 tan ( θ ) - 2 tan ( θ ) ( 1 - tan ^{2} ( θ ) )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

Expandir

2 tan (θ) - 2 tan (θ) (1 - tan^{2} (θ)) : 2 tan^{3} (θ)

2 tan (θ) - 2 tan (θ) (1 - tan^{2} (θ))

Expandir

- 2 tan (θ) (1 - tan^{2} (θ)) : - 2 tan (θ) + 2 tan^{3} (θ)

- 2 tan (θ) (1 - tan^{2} (θ))

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2 tan (θ), b = 1, c = tan^{2} (θ)

= - 2 tan (θ) \cdot 1 - (- 2 tan (θ)) tan^{2} (θ)

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 \cdot tan (θ) + 2 tan^{2} (θ) tan (θ)

Simplificar

- 2 \cdot 1 \cdot tan (θ) + 2 tan^{2} (θ) tan (θ) : - 2 tan (θ) + 2 tan^{3} (θ)

- 2 \cdot 1 \cdot tan (θ) + 2 tan^{2} (θ) tan (θ)

2 \cdot 1 \cdot tan (θ) = 2 tan (θ)

2 \cdot 1 \cdot tan (θ)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= 2 tan (θ)

2 tan^{2} (θ) tan (θ) = 2 tan^{3} (θ)

2 tan^{2} (θ) tan (θ)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan^{2} (θ) tan (θ) = tan^{2 + 1} (θ)

= 2 tan^{2 + 1} (θ)

Sumar:

2 + 1 = 3

= 2 tan^{3} (θ)

= - 2 tan (θ) + 2 tan^{3} (θ)

= - 2 tan (θ) + 2 tan^{3} (θ)

= 2 tan (θ) - 2 tan (θ) + 2 tan^{3} (θ)

Sumar elementos similares:

2 tan (θ) - 2 tan (θ) = 0

= 2 tan^{3} (θ)

= \frac{2 tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

= \frac{2 tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

\frac{2 tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = 0

Usando el método de sustitución

\frac{2 tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = 0

Sea:

tan (θ) = u

\frac{2 u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0

\frac{2 u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0 : u = 0

\frac{2 u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 u^{3} = 0

Resolver

2 u^{3} = 0 : u = 0

2 u^{3} = 0

Dividir ambos lados entre

2

2 u^{3} = 0

Dividir ambos lados entre

2

2 u^{3} = 0

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u ^{3}}{2} = \frac{0}{2}

Simplificar

u^{3} = 0

u^{3} = 0

Aplicar la regla

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

u = 0

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 1, u = - 1

Tomar el(los) denominador(es) de

\frac{2 u ^{3}}{1 - u ^{2}}

y comparar con cero

Resolver

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

Mover

1

al lado derecho

1 - u^{2} = 0

Restar

1

de ambos lados

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

Simplificar

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

- u^{2} = - 1

Dividir ambos lados entre

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Simplificar

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Los siguientes puntos no están definidos

u = 1, u = - 1

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = 0

Sustituir en la ecuación

u = tan (θ)

tan (θ) = 0

tan (θ) = 0

tan (θ) = 0 : θ = πn

tan (θ) = 0

Soluciones generales para

tan (θ) = 0

tan (x)

tabla de valores periódicos con

πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = 0 + πn

θ = 0 + πn

Resolver

θ = 0 + πn : θ = πn

θ = 0 + πn

0 + πn = πn

θ = πn

θ = πn

Combinar toda las soluciones

θ = πn

Ejemplos populares

csc(x)-3=-2sin(x)

csc (x) - 3 = - 2 sin (x)

(sin(y))/(80)=(sin(40))/(60)

\frac{sin ( y )}{80} = \frac{sin ( 4 0 ^{\circ} )}{60}

cos(w)=0.75sin(90-w)

cos (w) = 0.75 sin (9 0^{\circ} - w)

csc(4x)=2

csc (4 x) = 2

3tan^2(x)=2sec^2(x)+1,0<= x<= 180

3 tan^{2} (x) = 2 sec^{2} (x) + 1, 0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}