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12cos(x)+5sin(x)=3

Solução

12 cos (x) + 5 sin (x) = 3

Solução

x = - 0.94313 \dots + 2 πn, x = π - 1.40887 \dots + 2 πn

Graus

x = - 54.03777 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 99.27750 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

12 cos (x) + 5 sin (x) = 3

Subtrair

5 sin (x)

de ambos os lados

12 cos (x) = 3 - 5 sin (x)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(12 cos (x))^{2} = (3 - 5 sin (x))^{2}

Subtrair

(3 - 5 sin (x))^{2}

de ambos os lados

144 cos^{2} (x) - 9 + 30 sin (x) - 25 sin^{2} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 9 + 144 cos^{2} (x) - 25 sin^{2} (x) + 30 sin (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 9 + 144 (1 - sin^{2} (x)) - 25 sin^{2} (x) + 30 sin (x)

Simplificar

- 9 + 144 (1 - sin^{2} (x)) - 25 sin^{2} (x) + 30 sin (x) : 30 sin (x) - 169 sin^{2} (x) + 135

- 9 + 144 (1 - sin^{2} (x)) - 25 sin^{2} (x) + 30 sin (x)

Expandir

144 (1 - sin^{2} (x)) : 144 - 144 sin^{2} (x)

144 (1 - sin^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 144, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 144 \cdot 1 - 144 sin^{2} (x)

Multiplicar os números:

144 \cdot 1 = 144

= 144 - 144 sin^{2} (x)

= - 9 + 144 - 144 sin^{2} (x) - 25 sin^{2} (x) + 30 sin (x)

Simplificar

- 9 + 144 - 144 sin^{2} (x) - 25 sin^{2} (x) + 30 sin (x) : 30 sin (x) - 169 sin^{2} (x) + 135

- 9 + 144 - 144 sin^{2} (x) - 25 sin^{2} (x) + 30 sin (x)

Somar elementos similares:

- 144 sin^{2} (x) - 25 sin^{2} (x) = - 169 sin^{2} (x)

= - 9 + 144 - 169 sin^{2} (x) + 30 sin (x)

Somar/subtrair:

- 9 + 144 = 135

= 30 sin (x) - 169 sin^{2} (x) + 135

= 30 sin (x) - 169 sin^{2} (x) + 135

= 30 sin (x) - 169 sin^{2} (x) + 135

135 - 169 sin^{2} (x) + 30 sin (x) = 0

Usando o método de substituição

135 - 169 sin^{2} (x) + 30 sin (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

135 - 169 u^{2} + 30 u = 0

135 - 169 u^{2} + 30 u = 0 : u = - \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}, u = \frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}

135 - 169 u^{2} + 30 u = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 169 u^{2} + 30 u + 135 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 169 u^{2} + 30 u + 135 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 169, b = 30, c = 135

u_{1, 2} = \frac{- 30 \pm 3 0 ^{2} - 4 ( - 169 ) \cdot 135}{2 ( - 169 )}

u_{1, 2} = \frac{- 30 \pm 3 0 ^{2} - 4 ( - 169 ) \cdot 135}{2 ( - 169 )}

3 0^{2} - 4 (- 169) \cdot 135 = 9610

3 0^{2} - 4 (- 169) \cdot 135

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 3 0^{2} + 4 \cdot 169 \cdot 135

Multiplicar os números:

4 \cdot 169 \cdot 135 = 91260

= 3 0^{2} + 91260

3 0^{2} = 900

= 900 + 91260

Somar:

900 + 91260 = 92160

= 92160

Decomposição em fatores primos de

92160 : 2^{11} \cdot 3^{2} \cdot 5

92160

92160

dividida por

292160 = 46080 \cdot 2

= 2 \cdot 46080

46080

dividida por

246080 = 23040 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 23040

23040

dividida por

223040 = 11520 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11520

11520

dividida por

211520 = 5760 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5760

5760

dividida por

25760 = 2880 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2880

2880

dividida por

22880 = 1440 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1440

1440

dividida por

21440 = 720 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 720

720

dividida por

2720 = 360 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 360

360

dividida por

2360 = 180 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 180

180

dividida por

2180 = 90 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 90

90

dividida por

290 = 45 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 45

45

dividida por

345 = 15 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 15

15

dividida por

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

= 2^{11} \cdot 3^{2} \cdot 5

= 2^{11} \cdot 3^{2} \cdot 5

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{10} \cdot 3^{2} \cdot 2 \cdot 5

Aplicar as propriedades dos radicais:

= 3^{2} 2^{10} 2 \cdot 5

Aplicar as propriedades dos radicais:

2^{10} = 2^{\frac{10}{2}} = 2^{5}

= 2^{5} 3^{2} 2 \cdot 5

Aplicar as propriedades dos radicais:

3^{2} = 3

= 2^{5} \cdot 3 2 \cdot 5

Simplificar

= 9610

u_{1, 2} = \frac{- 30 \pm 96 10}{2 ( - 169 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 30 + 96 10}{2 ( - 169 )}, u_{2} = \frac{- 30 - 96 10}{2 ( - 169 )}

u = \frac{- 30 + 96 10}{2 ( - 169 )} : - \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}

\frac{- 30 + 96 10}{2 ( - 169 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 30 + 96 10}{- 2 \cdot 169}

Multiplicar os números:

2 \cdot 169 = 338

= \frac{- 30 + 96 10}{- 338}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 30 + 96 10}{338}

Cancelar

\frac{- 30 + 96 10}{338} : \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}

\frac{- 30 + 96 10}{338}

Fatorar

- 30 + 9610 : 6 (- 5 + 1610)

- 30 + 9610

Reescrever como

= - 6 \cdot 5 + 6 \cdot 1610

Fatorar o termo comum

6

= 6 (- 5 + 1610)

= \frac{6 ( - 5 + 16 10 )}{338}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}

= - \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}

u = \frac{- 30 - 96 10}{2 ( - 169 )} : \frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}

\frac{- 30 - 96 10}{2 ( - 169 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 30 - 96 10}{- 2 \cdot 169}

Multiplicar os números:

2 \cdot 169 = 338

= \frac{- 30 - 96 10}{- 338}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 30 - 9610 = - (30 + 9610)

= \frac{30 + 96 10}{338}

Fatorar

30 + 9610 : 6 (5 + 1610)

30 + 9610

Reescrever como

= 6 \cdot 5 + 6 \cdot 1610

Fatorar o termo comum

6

= 6 (5 + 1610)

= \frac{6 ( 5 + 16 10 )}{338}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}, u = \frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}, sin (x) = \frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}

sin (x) = - \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}, sin (x) = \frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}

sin (x) = - \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169} : x = arcsin (- \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

sin (x) = - \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}

Soluções gerais para

sin (x) = - \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 πn

sin (x) = \frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169} : x = arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 πn

sin (x) = \frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}

Soluções gerais para

sin (x) = \frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arcsin (- \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 πn

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

12 cos (x) + 5 sin (x) = 3

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

arcsin (- \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 πn :

Verdadeiro

arcsin (- \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arcsin (- \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 π 1

Para

12 cos (x) + 5 sin (x) = 3

inserir

x = arcsin (- \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 π 1

12 cos (arcsin (- \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 π 1) + 5 sin (arcsin (- \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 π 1) = 3

Simplificar

3 = 3

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

π + arcsin (\frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 πn :

Falso

π + arcsin (\frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 πn

Inserir

n = 1

π + arcsin (\frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 π 1

Para

12 cos (x) + 5 sin (x) = 3

inserir

x = π + arcsin (\frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 π 1

12 cos (π + arcsin (\frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 π 1) + 5 sin (π + arcsin (\frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 π 1) = 3

Simplificar

- 11.09404 \dots = 3

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 πn :

Falso

arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 π 1

Para

12 cos (x) + 5 sin (x) = 3

inserir

x = arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 π 1

12 cos (arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 π 1) + 5 sin (arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 π 1) = 3

Simplificar

6.86919 \dots = 3

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

π - arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 πn :

Verdadeiro

π - arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 πn

Inserir

n = 1

π - arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 π 1

Para

12 cos (x) + 5 sin (x) = 3

inserir

x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 π 1

12 cos (π - arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 π 1) + 5 sin (π - arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 π 1) = 3

Simplificar

3 = 3

\Rightarrow Verdadeiro

x = arcsin (- \frac{3 ( 16 10 - 5 )}{169}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 ( 5 + 16 10 )}{169}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = - 0.94313 \dots + 2 πn, x = π - 1.40887 \dots + 2 πn

Exemplos populares

2cos(x)sin^2(x)=cos(x)

2 cos (x) sin^{2} (x) = cos (x)

2cos(4θ)=-1,0<= θ<= 2pi

2 cos (4 θ) = - 1, 0 \leq θ \leq 2 π

1*sin(45)=1.57*sin(θ)

1 \cdot sin (4 5^{\circ}) = 1.57 \cdot sin (θ)

(sin(x))/(2-2sin^2(x))=0

\frac{sin ( x )}{2 - 2 sin ^{2} ( x )} = 0

tan(θ)=sqrt(3),0<= θ<2pi

tan (θ) = 3, 0 \leq θ < 2 π