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Popular >

2-3sin(θ)=cos(θ)

Solución

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

Solución

θ = π - 1.00646 \dots + 2 πn, θ = 0.36296 \dots + 2 πn

Grados

θ = 122.33353 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 20.79657 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

Elevar al cuadrado ambos lados

(2 - 3 sin (θ))^{2} = cos^{2} (θ)

Restar

cos^{2} (θ)

de ambos lados

(2 - 3 sin (θ))^{2} - cos^{2} (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

(2 - 3 sin (θ))^{2} - cos^{2} (θ)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (2 - 3 sin (θ))^{2} - (1 - sin^{2} (θ))

Simplificar

(2 - 3 sin (θ))^{2} - (1 - sin^{2} (θ)) : 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) + 3

(2 - 3 sin (θ))^{2} - (1 - sin^{2} (θ))

(2 - 3 sin (θ))^{2} : 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ)

Aplicar la formula del binomio al cuadrado:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 2, b = 3 sin (θ)

= 2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 sin (θ) + (3 sin (θ))^{2}

Simplificar

2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 sin (θ) + (3 sin (θ))^{2} : 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ)

2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 sin (θ) + (3 sin (θ))^{2}

2^{2} = 4

2^{2}

2^{2} = 4

= 4

2 \cdot 2 \cdot 3 sin (θ) = 12 sin (θ)

2 \cdot 2 \cdot 3 sin (θ)

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12 sin (θ)

(3 sin (θ))^{2} = 9 sin^{2} (θ)

(3 sin (θ))^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 3^{2} sin^{2} (θ)

3^{2} = 9

= 9 sin^{2} (θ)

= 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ)

= 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ)

= 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) - (1 - sin^{2} (θ))

- (1 - sin^{2} (θ)) : - 1 + sin^{2} (θ)

- (1 - sin^{2} (θ))

Poner los parentesis

= - (1) - (- sin^{2} (θ))

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + sin^{2} (θ)

= 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) - 1 + sin^{2} (θ)

Simplificar

4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) - 1 + sin^{2} (θ) : 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) + 3

4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) - 1 + sin^{2} (θ)

Agrupar términos semejantes

= - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) + 4 - 1

Sumar elementos similares:

9 sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) = 10 sin^{2} (θ)

= - 12 sin (θ) + 10 sin^{2} (θ) + 4 - 1

Sumar/restar lo siguiente:

4 - 1 = 3

= 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) + 3

= 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) + 3

= 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) + 3

3 + 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) = 0

Usando el método de sustitución

3 + 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) = 0

Sea:

sin (θ) = u

3 + 10 u^{2} - 12 u = 0

3 + 10 u^{2} - 12 u = 0 : u = \frac{6 + 6}{10}, u = \frac{6 - 6}{10}

3 + 10 u^{2} - 12 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

10 u^{2} - 12 u + 3 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

10 u^{2} - 12 u + 3 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 10, b = - 12, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3}{2 \cdot 10}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3}{2 \cdot 10}

(- 12)^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3 = 26

(- 12)^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 12)^{2} = 1 2^{2}

= 1 2^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 10 \cdot 3 = 120

= 1 2^{2} - 120

1 2^{2} = 144

= 144 - 120

Restar:

144 - 120 = 24

= 24

Descomposición en factores primos de

24 : 2^{3} \cdot 3

24

24

divida por

224 = 12 \cdot 2

= 2 \cdot 12

12

divida por

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2^{2} 2 \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 3

Simplificar

= 26

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm 2 6}{2 \cdot 10}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 12 ) + 2 6}{2 \cdot 10}, u_{2} = \frac{- ( - 12 ) - 2 6}{2 \cdot 10}

u = \frac{- ( - 12 ) + 2 6}{2 \cdot 10} : \frac{6 + 6}{10}

\frac{- ( - 12 ) + 2 6}{2 \cdot 10}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{12 + 2 6}{2 \cdot 10}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{12 + 2 6}{20}

Factorizar

12 + 26 : 2 (6 + 6)

12 + 26

Reescribir como

= 2 \cdot 6 + 26

Factorizar el termino común

2

= 2 (6 + 6)

= \frac{2 ( 6 + 6 )}{20}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{6 + 6}{10}

u = \frac{- ( - 12 ) - 2 6}{2 \cdot 10} : \frac{6 - 6}{10}

\frac{- ( - 12 ) - 2 6}{2 \cdot 10}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{12 - 2 6}{2 \cdot 10}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{12 - 2 6}{20}

Factorizar

12 - 26 : 2 (6 - 6)

12 - 26

Reescribir como

= 2 \cdot 6 - 26

Factorizar el termino común

2

= 2 (6 - 6)

= \frac{2 ( 6 - 6 )}{20}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{6 - 6}{10}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{6 + 6}{10}, u = \frac{6 - 6}{10}

Sustituir en la ecuación

u = sin (θ)

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}, sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}, sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10} : θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}

Soluciones generales para

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10} : θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

Soluciones generales para

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn :

Falso

arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

Multiplicar

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

por

θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

2 - 3 sin (arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1) = cos (arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1)

Simplificar

- 0.53484 \dots = 0.53484 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn :

Verdadero

π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

Multiplicar

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

por

θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

2 - 3 sin (π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1) = cos (π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1)

Simplificar

- 0.53484 \dots = - 0.53484 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn :

Verdadero

arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

Multiplicar

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

por

θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

2 - 3 sin (arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1) = cos (arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1)

Simplificar

0.93484 \dots = 0.93484 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn :

Falso

π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

Multiplicar

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

por

θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

2 - 3 sin (π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1) = cos (π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1)

Simplificar

0.93484 \dots = - 0.93484 \dots

\Rightarrow Falso

θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

θ = π - 1.00646 \dots + 2 πn, θ = 0.36296 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

5sin(3x)=4

5 sin (3 x) = 4

sec(θ)= 1/(cos(67.38))

sec (θ) = \frac{1}{cos ( 67.3 8 ^{\circ} )}

solvefor x,6cos^2(x)+cos(x)-1=0 resolver para

x, 6 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 = 0

sqrt(3)=tan(θ/3)

3 = tan (\frac{θ}{3})

sec(x)-sqrt(2)=0,0<= x<2pi

sec (x) - 2 = 0, 0 \leq x < 2 π