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tan(θ)sec(θ)=cot(θ)csc(θ)

Solução

tan (θ) sec (θ) = cot (θ) csc (θ)

Solução

θ = \frac{π}{4} + πn

Graus

θ = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Passos da solução

tan (θ) sec (θ) = cot (θ) csc (θ)

Subtrair

cot (θ) csc (θ)

de ambos os lados

tan (θ) sec (θ) - cot (θ) csc (θ) = 0

Expresar com seno, cosseno

- cot (θ) csc (θ) + sec (θ) tan (θ)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} csc (θ) + sec (θ) tan (θ)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{sin ( θ )} + sec (θ) tan (θ)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{sin ( θ )} + \frac{1}{cos ( θ )} tan (θ)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{sin ( θ )} + \frac{1}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Simplificar

- \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{sin ( θ )} + \frac{1}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{- cos ^{3} ( θ ) + sin ^{3} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

- \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{sin ( θ )} + \frac{1}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{sin ( θ )} = \frac{cos ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

Multiplicar frações:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{cos ( θ ) \cdot 1}{sin ( θ ) sin ( θ )}

Multiplicar:

cos (θ) \cdot 1 = cos (θ)

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ ) sin ( θ )}

sin (θ) sin (θ) = sin^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

Somar:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= \frac{cos ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

\frac{1}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

\frac{1}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multiplicar frações:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot sin ( θ )}{cos ( θ ) cos ( θ )}

Multiplicar:

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ ) cos ( θ )}

cos (θ) cos (θ) = cos^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= cos^{1 + 1} (θ)

Somar:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (θ)

= \frac{sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= - \frac{cos ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Mínimo múltiplo comum de

sin^{2} (θ), cos^{2} (θ) : sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

sin^{2} (θ), cos^{2} (θ)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

sin^{2} (θ)

quanto em

cos^{2} (θ)

= sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{cos ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos^{2} (θ)

\frac{cos ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} = \frac{cos ( θ ) cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} = \frac{cos ^{3} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Para

\frac{sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} :

multiplique o numerador e o denominador por

sin^{2} (θ)

\frac{sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} = \frac{sin ( θ ) sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )} = \frac{sin ^{3} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= - \frac{cos ^{3} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} + \frac{sin ^{3} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ^{3} ( θ ) + sin ^{3} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= \frac{- cos ^{3} ( θ ) + sin ^{3} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

\frac{- cos ^{3} ( θ ) + sin ^{3} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- cos^{3} (θ) + sin^{3} (θ) = 0

Fatorar

- cos^{3} (θ) + sin^{3} (θ) : (sin (θ) - cos (θ)) (sin^{2} (θ) + sin (θ) cos (θ) + cos^{2} (θ))

- cos^{3} (θ) + sin^{3} (θ)

Aplicar a regra da diferença de cubos:

x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})

sin^{3} (θ) - cos^{3} (θ) = (sin (θ) - cos (θ)) (sin^{2} (θ) + sin (θ) cos (θ) + cos^{2} (θ))

= (sin (θ) - cos (θ)) (sin^{2} (θ) + sin (θ) cos (θ) + cos^{2} (θ))

(sin (θ) - cos (θ)) (sin^{2} (θ) + sin (θ) cos (θ) + cos^{2} (θ)) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

(sin (θ) - cos (θ)) (sin^{2} (θ) + sin (θ) cos (θ) + cos^{2} (θ))

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= (- cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) sin (θ) + 1)

(- cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) sin (θ) + 1) = 0

Resolver cada parte separadamente

- cos (θ) + sin (θ) = 0 or cos (θ) sin (θ) + 1 = 0

- cos (θ) + sin (θ) = 0 : θ = \frac{π}{4} + πn

- cos (θ) + sin (θ) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- cos (θ) + sin (θ) = 0

Dividir ambos os lados por

cos (θ), cos (θ) \neq = 0

\frac{- cos ( θ ) + sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{0}{cos ( θ )}

Simplificar

- 1 + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = 0

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

- 1 + tan (θ) = 0

- 1 + tan (θ) = 0

Mova

1

para o lado direito

- 1 + tan (θ) = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

- 1 + tan (θ) + 1 = 0 + 1

Simplificar

tan (θ) = 1

tan (θ) = 1

Soluções gerais para

tan (θ) = 1

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

cos (θ) sin (θ) + 1 = 0 :

Sem solução

cos (θ) sin (θ) + 1 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

cos (θ) sin (θ) + 1

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= 1 + \frac{sin ( 2 θ )}{2}

1 + \frac{sin ( 2 θ )}{2} = 0

Mova

1

para o lado direito

1 + \frac{sin ( 2 θ )}{2} = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 + \frac{sin ( 2 θ )}{2} - 1 = 0 - 1

Simplificar

\frac{sin ( 2 θ )}{2} = - 1

\frac{sin ( 2 θ )}{2} = - 1

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{sin ( 2 θ )}{2} = - 1

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 sin ( 2 θ )}{2} = 2 (- 1)

Simplificar

sin (2 θ) = - 2

sin (2 θ) = - 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

θ = \frac{π}{4} + πn

Exemplos populares

0=4+3cos(x)

0 = 4 + 3 cos (x)

cos^2(x)-cos(x)=0.75

cos^{2} (x) - cos (x) = 0.75

2sin^3(x)+cos^2(x)=1

2 sin^{3} (x) + cos^{2} (x) = 1

2tan(x)=tan(x)tan(x)

2 tan (x) = tan (x) tan (x)

(2tan(x))/(1-tan^2(x))=sqrt(3)

\frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} = 3