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cos(2t)-cos(t)=0.5

Solución

cos (2 t) - cos (t) = 0.5

Solución

t = 2.28020 \dots + 2 πn, t = - 2.28020 \dots + 2 πn

Grados

t = 130.64631 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, t = - 130.64631 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (2 t) - cos (t) = 0.5

Restar

0.5

de ambos lados

cos (2 t) - cos (t) - 0.5 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 0.5 + cos (2 t) - cos (t)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 0.5 + 2 cos^{2} (t) - 1 - cos (t)

Simplificar

- 0.5 + 2 cos^{2} (t) - 1 - cos (t) : 2 cos^{2} (t) - cos (t) - 1.5

- 0.5 + 2 cos^{2} (t) - 1 - cos (t)

Agrupar términos semejantes

= 2 cos^{2} (t) - cos (t) - 0.5 - 1

Restar:

- 0.5 - 1 = - 1.5

= 2 cos^{2} (t) - cos (t) - 1.5

= 2 cos^{2} (t) - cos (t) - 1.5

- 1.5 - cos (t) + 2 cos^{2} (t) = 0

Usando el método de sustitución

- 1.5 - cos (t) + 2 cos^{2} (t) = 0

Sea:

cos (t) = u

- 1.5 - u + 2 u^{2} = 0

- 1.5 - u + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1 + 13}{4}, u = \frac{1 - 13}{4}

- 1.5 - u + 2 u^{2} = 0

Multiplicar ambos lados por

10

- 1.5 - u + 2 u^{2} = 0

To eliminate decimal points, multiply by 10 for every digit after the decimal pointThere is one digit to the right of the decimal point, therefore multiply by

10

- 1.5 \cdot 10 - u \cdot 10 + 2 u^{2} \cdot 10 = 0 \cdot 10

Simplificar

- 15 - 10 u + 20 u^{2} = 0

- 15 - 10 u + 20 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

20 u^{2} - 10 u - 15 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

20 u^{2} - 10 u - 15 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 20, b = - 10, c = - 15

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 20 ( - 15 )}{2 \cdot 20}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 20 ( - 15 )}{2 \cdot 20}

(- 10)^{2} - 4 \cdot 20 (- 15) = 1013

(- 10)^{2} - 4 \cdot 20 (- 15)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 10)^{2} + 4 \cdot 20 \cdot 15

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 10)^{2} = 1 0^{2}

= 1 0^{2} + 4 \cdot 20 \cdot 15

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 20 \cdot 15 = 1200

= 1 0^{2} + 1200

1 0^{2} = 100

= 100 + 1200

Sumar:

100 + 1200 = 1300

= 1300

Descomposición en factores primos de

1300 : 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 13

1300

1300

divida por

21300 = 650 \cdot 2

= 2 \cdot 650

650

divida por

2650 = 325 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 325

325

divida por

5325 = 65 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 65

65

divida por

565 = 13 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 13

2, 5, 13

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 13

= 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 13

= 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 13

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 13 2^{2} 5^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 213 5^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

5^{2} = 5

= 2 \cdot 513

Simplificar

= 1013

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm 10 13}{2 \cdot 20}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 10 ) + 10 13}{2 \cdot 20}, u_{2} = \frac{- ( - 10 ) - 10 13}{2 \cdot 20}

u = \frac{- ( - 10 ) + 10 13}{2 \cdot 20} : \frac{1 + 13}{4}

\frac{- ( - 10 ) + 10 13}{2 \cdot 20}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{10 + 10 13}{2 \cdot 20}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 20 = 40

= \frac{10 + 10 13}{40}

Factorizar

10 + 1013 : 10 (1 + 13)

10 + 1013

Reescribir como

= 10 \cdot 1 + 1013

Factorizar el termino común

10

= 10 (1 + 13)

= \frac{10 ( 1 + 13 )}{40}

Eliminar los terminos comunes:

10

= \frac{1 + 13}{4}

u = \frac{- ( - 10 ) - 10 13}{2 \cdot 20} : \frac{1 - 13}{4}

\frac{- ( - 10 ) - 10 13}{2 \cdot 20}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{10 - 10 13}{2 \cdot 20}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 20 = 40

= \frac{10 - 10 13}{40}

Factorizar

10 - 1013 : 10 (1 - 13)

10 - 1013

Reescribir como

= 10 \cdot 1 - 1013

Factorizar el termino común

10

= 10 (1 - 13)

= \frac{10 ( 1 - 13 )}{40}

Eliminar los terminos comunes:

10

= \frac{1 - 13}{4}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{1 + 13}{4}, u = \frac{1 - 13}{4}

Sustituir en la ecuación

u = cos (t)

cos (t) = \frac{1 + 13}{4}, cos (t) = \frac{1 - 13}{4}

cos (t) = \frac{1 + 13}{4}, cos (t) = \frac{1 - 13}{4}

cos (t) = \frac{1 + 13}{4} :

Sin solución

cos (t) = \frac{1 + 13}{4}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (t) = \frac{1 - 13}{4} : t = arccos (\frac{1 - 13}{4}) + 2 πn, t = - arccos (\frac{1 - 13}{4}) + 2 πn

cos (t) = \frac{1 - 13}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (t) = \frac{1 - 13}{4}

Soluciones generales para

cos (t) = \frac{1 - 13}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

t = arccos (\frac{1 - 13}{4}) + 2 πn, t = - arccos (\frac{1 - 13}{4}) + 2 πn

t = arccos (\frac{1 - 13}{4}) + 2 πn, t = - arccos (\frac{1 - 13}{4}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

t = arccos (\frac{1 - 13}{4}) + 2 πn, t = - arccos (\frac{1 - 13}{4}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

t = 2.28020 \dots + 2 πn, t = - 2.28020 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

0=-6csc(x)cot(x)

0 = - 6 csc (x) cot (x)

0.08=0.12cos^2(3.922t)

0.08 = 0.12 cos^{2} (3.922 t)

(15)/(sin(32))=(12)/(sin(b))

\frac{15}{sin ( 3 2 ^{\circ} )} = \frac{12}{sin ( b )}

(sin(x))/(25)=(sin(125))/(165.6)

\frac{sin ( x )}{25} = \frac{sin ( 12 5 ^{\circ} )}{165.6}

2cos(3θ)-1=0

2 cos (3 θ) - 1 = 0