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2+cos(x)=3(cos^2(x))/2+(sin^2(x))/2

Solución

2 + cos (x) = 3 \frac{cos ^{2} ( x )}{2} + \frac{sin ^{2} ( x )}{2}

Solución

x = 2.53724 \dots + 2 πn, x = - 2.53724 \dots + 2 πn

Grados

x = 145.37370 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 145.37370 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 + cos (x) = 3 \cdot \frac{cos ^{2} ( x )}{2} + \frac{sin ^{2} ( x )}{2}

Restar

3 \frac{cos ^{2} ( x )}{2} + \frac{sin ^{2} ( x )}{2}

de ambos lados

2 + cos (x) - \frac{3 cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2} = 0

Simplificar

2 + cos (x) - \frac{3 cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2} : \frac{4 + 2 cos ( x ) - 3 cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{2}

2 + cos (x) - \frac{3 cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2}

Convertir a fracción:

2 = \frac{2 \cdot 2}{2}, cos (x) = \frac{cos ( x ) 2}{2}

= \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{cos ( x ) \cdot 2}{2} - \frac{3 cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 \cdot 2 + cos ( x ) \cdot 2 - ( 3 cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4 + 2 cos ( x ) - ( 3 cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{2}

Expandir

4 + cos (x) \cdot 2 - (3 cos^{2} (x) + sin^{2} (x)) : 4 + cos (x) \cdot 2 - 3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

4 + cos (x) \cdot 2 - (3 cos^{2} (x) + sin^{2} (x))

= 4 + 2 cos (x) - (3 cos^{2} (x) + sin^{2} (x))

- (3 cos^{2} (x) + sin^{2} (x)) : - 3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

- (3 cos^{2} (x) + sin^{2} (x))

Poner los parentesis

= - (3 cos^{2} (x)) - (sin^{2} (x))

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - 3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= 4 + cos (x) \cdot 2 - 3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= \frac{4 + 2 cos ( x ) - 3 cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{2}

\frac{4 + 2 cos ( x ) - 3 cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 + 2 cos (x) - 3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

4 - sin^{2} (x) + 2 cos (x) - 3 cos^{2} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 4 - (1 - cos^{2} (x)) + 2 cos (x) - 3 cos^{2} (x)

Simplificar

4 - (1 - cos^{2} (x)) + 2 cos (x) - 3 cos^{2} (x) : 2 cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 3

4 - (1 - cos^{2} (x)) + 2 cos (x) - 3 cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Poner los parentesis

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= 4 - 1 + cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 3 cos^{2} (x)

Simplificar

4 - 1 + cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 3 cos^{2} (x) : 2 cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 3

4 - 1 + cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 3 cos^{2} (x)

Agrupar términos semejantes

= cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 3 cos^{2} (x) + 4 - 1

Sumar elementos similares:

cos^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) = - 2 cos^{2} (x)

= - 2 cos^{2} (x) + 2 cos (x) + 4 - 1

Sumar/restar lo siguiente:

4 - 1 = 3

= 2 cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 3

= 2 cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 3

= 2 cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 3

3 + 2 cos (x) - 2 cos^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

3 + 2 cos (x) - 2 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

3 + 2 u - 2 u^{2} = 0

3 + 2 u - 2 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 1 + 7}{2}, u = \frac{1 + 7}{2}

3 + 2 u - 2 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + 2 u + 3 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 2 u^{2} + 2 u + 3 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 2, b = 2, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 3}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 3}{2 ( - 2 )}

2^{2} - 4 (- 2) \cdot 3 = 27

2^{2} - 4 (- 2) \cdot 3

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 2^{2} + 24

2^{2} = 4

= 4 + 24

Sumar:

4 + 24 = 28

= 28

Descomposición en factores primos de

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

divida por

228 = 14 \cdot 2

= 2 \cdot 14

14

divida por

214 = 7 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 7 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 27

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 7}{2 ( - 2 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 2 + 2 7}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 7}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 2 + 2 7}{2 ( - 2 )} : - \frac{- 1 + 7}{2}

\frac{- 2 + 2 7}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 2 7}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 + 2 7}{- 4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 2 + 2 7}{4}

Cancelar

\frac{- 2 + 2 7}{4} : \frac{7 - 1}{2}

\frac{- 2 + 2 7}{4}

Factorizar

- 2 + 27 : 2 (- 1 + 7)

- 2 + 27

Reescribir como

= - 2 \cdot 1 + 27

Factorizar el termino común

2

= 2 (- 1 + 7)

= \frac{2 ( - 1 + 7 )}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{- 1 + 7}{2}

= - \frac{7 - 1}{2}

= - \frac{- 1 + 7}{2}

u = \frac{- 2 - 2 7}{2 ( - 2 )} : \frac{1 + 7}{2}

\frac{- 2 - 2 7}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 2 7}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 - 2 7}{- 4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 2 - 27 = - (2 + 27)

= \frac{2 + 2 7}{4}

Factorizar

2 + 27 : 2 (1 + 7)

2 + 27

Reescribir como

= 2 \cdot 1 + 27

Factorizar el termino común

2

= 2 (1 + 7)

= \frac{2 ( 1 + 7 )}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1 + 7}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{- 1 + 7}{2}, u = \frac{1 + 7}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{- 1 + 7}{2}, cos (x) = \frac{1 + 7}{2}

cos (x) = - \frac{- 1 + 7}{2}, cos (x) = \frac{1 + 7}{2}

cos (x) = - \frac{- 1 + 7}{2} : x = arccos (- \frac{- 1 + 7}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 7}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 1 + 7}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{- 1 + 7}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{- 1 + 7}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 7}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 7}{2}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 7}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 7}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 7}{2} :

Sin solución

cos (x) = \frac{1 + 7}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = arccos (- \frac{- 1 + 7}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 7}{2}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 2.53724 \dots + 2 πn, x = - 2.53724 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

sin^2(x)+sin^6(x)=3cos^2(2x)

sin^{2} (x) + sin^{6} (x) = 3 cos^{2} (2 x)

cot^2(x)-7cot(x)+10=0

cot^{2} (x) - 7 cot (x) + 10 = 0

solvefor x,r-2s+t=sin(2x+3y)resolver para

x, r - 2 s + t = sin (2 x + 3 y)

sin^5(a)=16sin^5(a)-20sin^3(a)+5sin(a)

sin^{5} (a) = 16 sin^{5} (a) - 20 sin^{3} (a) + 5 sin (a)

tan(b)= 1/2

tan (b) = \frac{1}{2}