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tan^2(x)-1=4cos(x)

Solución

tan^{2} (x) - 1 = 4 cos (x)

Solución

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grados

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

tan^{2} (x) - 1 = 4 cos (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(tan^{2} (x) - 1)^{2} = (4 cos (x))^{2}

Restar

(4 cos (x))^{2}

de ambos lados

(tan^{2} (x) - 1)^{2} - 16 cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

(- 1 + tan^{2} (x))^{2} - 16 cos^{2} (x)

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (- 1 + (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2})^{2} - 16 cos^{2} (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= (- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )})^{2} - 16 cos^{2} (x)

(- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )})^{2} - 16 cos^{2} (x) = 0

Factorizar

(- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )})^{2} - 16 cos^{2} (x) : (- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 4 cos (x)) (- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - 4 cos (x))

(- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )})^{2} - 16 cos^{2} (x)

Reescribir

16 cos^{2} (x)

como

(2^{2} cos (x))^{2}

16 cos^{2} (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

16 = (2^{2})^{2}

= (2^{2})^{2} cos^{2} (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2^{2})^{2} cos^{2} (x) = (2^{2} cos (x))^{2}

= (2^{2} cos (x))^{2}

= (- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )})^{2} - (2^{2} cos (x))^{2}

Aplicar la siguiente regla para binomios al cuadrado:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )})^{2} - (2^{2} cos (x))^{2} = ((- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}) + 2^{2} cos (x)) ((- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}) - 2^{2} cos (x))

= ((- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}) + 2^{2} cos (x)) ((- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}) - 2^{2} cos (x))

Simplificar

= (\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 4 cos (x) - 1) (\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - 4 cos (x) - 1)

(- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 4 cos (x)) (- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - 4 cos (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 4 cos (x) = 0 or - 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - 4 cos (x) = 0

- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 4 cos (x) = 0 : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 4 cos (x) = 0

Simplificar

- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 4 cos (x) : \frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) + 4 cos ^{3} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + 4 cos (x)

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}, 4 cos (x) = \frac{4 cos ( x ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{4 cos ( x ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) + 4 cos ( x ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

- 1 \cdot cos^{2} (x) + sin^{2} (x) + 4 cos (x) cos^{2} (x) = - cos^{2} (x) + sin^{2} (x) + 4 cos^{3} (x)

- 1 \cdot cos^{2} (x) + sin^{2} (x) + 4 cos (x) cos^{2} (x)

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

1 \cdot cos^{2} (x)

Multiplicar:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= cos^{2} (x)

4 cos (x) cos^{2} (x) = 4 cos^{3} (x)

4 cos (x) cos^{2} (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos^{2} (x) = cos^{1 + 2} (x)

= 4 cos^{1 + 2} (x)

Sumar:

1 + 2 = 3

= 4 cos^{3} (x)

= - cos^{2} (x) + sin^{2} (x) + 4 cos^{3} (x)

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) + 4 cos ^{3} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

\frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) + 4 cos ^{3} ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- cos^{2} (x) + sin^{2} (x) + 4 cos^{3} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- cos^{2} (x) + sin^{2} (x) + 4 cos^{3} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - cos^{2} (x) + 1 - cos^{2} (x) + 4 cos^{3} (x)

Simplificar

- cos^{2} (x) + 1 - cos^{2} (x) + 4 cos^{3} (x) : - 2 cos^{2} (x) + 4 cos^{3} (x) + 1

- cos^{2} (x) + 1 - cos^{2} (x) + 4 cos^{3} (x)

Agrupar términos semejantes

= - cos^{2} (x) - cos^{2} (x) + 4 cos^{3} (x) + 1

Sumar elementos similares:

- cos^{2} (x) - cos^{2} (x) = - 2 cos^{2} (x)

= - 2 cos^{2} (x) + 4 cos^{3} (x) + 1

= - 2 cos^{2} (x) + 4 cos^{3} (x) + 1

1 - 2 cos^{2} (x) + 4 cos^{3} (x) = 0

Usando el método de sustitución

1 - 2 cos^{2} (x) + 4 cos^{3} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

1 - 2 u^{2} + 4 u^{3} = 0

1 - 2 u^{2} + 4 u^{3} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

1 - 2 u^{2} + 4 u^{3} = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

4 u^{3} - 2 u^{2} + 1 = 0

Factorizar

4 u^{3} - 2 u^{2} + 1 : (2 u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

4 u^{3} - 2 u^{2} + 1

Utilizar el teorema de la raíz racional

a_{0} = 1, a_{n} = 4

Los divisores de

a_{0} : 1,

Los divisores de

a_{n} : 1, 2, 4

Por lo tanto, verificar los siguientes numeros racionales:

\pm \frac{1}{1 , 2 , 4}

- \frac{1}{2}

es la raíz de la expresión, por lo tanto, factorizar

2 u + 1

= (2 u + 1) \frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} + 1}{2 u + 1}

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} + 1}{2 u + 1} = 2 u^{2} - 2 u + 1

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} + 1}{2 u + 1}

Dividir

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} + 1}{2 u + 1} : \frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} + 1}{2 u + 1} = 2 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + 1}{2 u + 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

4 u^{3} - 2 u^{2} + 1

y el divisor

2 u + 1 : \frac{4 u ^{3}}{2 u} = 2 u^{2}

Cociente = 2 u^{2}

Multiplicar

2 u + 1

por

2 u^{2} : 4 u^{3} + 2 u^{2}

Substraer

4 u^{3} + 2 u^{2}

4 u^{3} - 2 u^{2} + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = - 4 u^{2} + 1

Por lo tanto

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} + 1}{2 u + 1} = 2 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + 1}{2 u + 1}

= 2 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + 1}{2 u + 1}

Dividir

\frac{- 4 u ^{2} + 1}{2 u + 1} : \frac{- 4 u ^{2} + 1}{2 u + 1} = - 2 u + \frac{2 u + 1}{2 u + 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

- 4 u^{2} + 1

y el divisor

2 u + 1 : \frac{- 4 u ^{2}}{2 u} = - 2 u

Cociente = - 2 u

Multiplicar

2 u + 1

por

- 2 u : - 4 u^{2} - 2 u

Substraer

- 4 u^{2} - 2 u

- 4 u^{2} + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 2 u + 1

Por lo tanto

\frac{- 4 u ^{2} + 1}{2 u + 1} = - 2 u + \frac{2 u + 1}{2 u + 1}

= 2 u^{2} - 2 u + \frac{2 u + 1}{2 u + 1}

Dividir

\frac{2 u + 1}{2 u + 1} : \frac{2 u + 1}{2 u + 1} = 1

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

2 u + 1

y el divisor

2 u + 1 : \frac{2 u}{2 u} = 1

Cociente = 1

Multiplicar

2 u + 1

por

1 : 2 u + 1

Substraer

2 u + 1

2 u + 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 0

Por lo tanto

\frac{2 u + 1}{2 u + 1} = 1

= 2 u^{2} - 2 u + 1

= (2 u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

(2 u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1) = 0

Utilizando el teorema de factor cero: si

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

2 u + 1 = 0 or 2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Resolver

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

2 u + 1 = 0

Restar

1

de ambos lados

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = - 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

Resolver

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0 : u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 2, b = - 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

Simplificar

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 : 2 i

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} - 8

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- a = i a

= i 8 - 2^{2}

- 2^{2} + 8 = 2

- 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= - 4 + 8

Sumar/restar lo siguiente:

- 4 + 8 = 4

= 4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 i}{2 \cdot 2}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 i}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 + 2 i}{4}

Factorizar

2 + 2 i : 2 (1 + i)

2 + 2 i

Reescribir como

= 2 \cdot 1 + 2 i

Factorizar el termino común

2

= 2 (1 + i)

= \frac{2 ( 1 + i )}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1 + i}{2}

Reescribir

\frac{1 + i}{2}

en la forma binómica:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

\frac{1 + i}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 i}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 - 2 i}{4}

Factorizar

2 - 2 i : 2 (1 - i)

2 - 2 i

Reescribir como

= 2 \cdot 1 - 2 i

Factorizar el termino común

2

= 2 (1 - i)

= \frac{2 ( 1 - i )}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1 - i}{2}

Reescribir

\frac{1 - i}{2}

en la forma binómica:

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

\frac{1 - i}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Las soluciones son

u = - \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, cos (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, cos (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2} :

Sin solución

cos (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2} :

Sin solución

cos (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - 4 cos (x) = 0 : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - 4 cos (x) = 0

Simplificar

- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - 4 cos (x) : \frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) - 4 cos ^{3} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

- 1 + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - 4 cos (x)

Convertir a fracción:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}, 4 cos (x) = \frac{4 cos ( x ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - \frac{4 cos ( x ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) - 4 cos ( x ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

- 1 \cdot cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - 4 cos (x) cos^{2} (x) = - cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - 4 cos^{3} (x)

- 1 \cdot cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - 4 cos (x) cos^{2} (x)

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

1 \cdot cos^{2} (x)

Multiplicar:

1 \cdot cos^{2} (x) = cos^{2} (x)

= cos^{2} (x)

4 cos (x) cos^{2} (x) = 4 cos^{3} (x)

4 cos (x) cos^{2} (x)

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos^{2} (x) = cos^{1 + 2} (x)

= 4 cos^{1 + 2} (x)

Sumar:

1 + 2 = 3

= 4 cos^{3} (x)

= - cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - 4 cos^{3} (x)

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) - 4 cos ^{3} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

\frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) - 4 cos ^{3} ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - 4 cos^{3} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - 4 cos^{3} (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - cos^{2} (x) + 1 - cos^{2} (x) - 4 cos^{3} (x)

Simplificar

- cos^{2} (x) + 1 - cos^{2} (x) - 4 cos^{3} (x) : - 2 cos^{2} (x) - 4 cos^{3} (x) + 1

- cos^{2} (x) + 1 - cos^{2} (x) - 4 cos^{3} (x)

Agrupar términos semejantes

= - cos^{2} (x) - cos^{2} (x) - 4 cos^{3} (x) + 1

Sumar elementos similares:

- cos^{2} (x) - cos^{2} (x) = - 2 cos^{2} (x)

= - 2 cos^{2} (x) - 4 cos^{3} (x) + 1

= - 2 cos^{2} (x) - 4 cos^{3} (x) + 1

1 - 2 cos^{2} (x) - 4 cos^{3} (x) = 0

Usando el método de sustitución

1 - 2 cos^{2} (x) - 4 cos^{3} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

1 - 2 u^{2} - 4 u^{3} = 0

1 - 2 u^{2} - 4 u^{3} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

1 - 2 u^{2} - 4 u^{3} = 0

Escribir en la forma binómica

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 4 u^{3} - 2 u^{2} + 1 = 0

Factorizar

- 4 u^{3} - 2 u^{2} + 1 : - (2 u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1)

- 4 u^{3} - 2 u^{2} + 1

Factorizar el termino común

- 1

= - (4 u^{3} + 2 u^{2} - 1)

Factorizar

4 u^{3} + 2 u^{2} - 1 : (2 u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1)

4 u^{3} + 2 u^{2} - 1

Utilizar el teorema de la raíz racional

a_{0} = 1, a_{n} = 4

Los divisores de

a_{0} : 1,

Los divisores de

a_{n} : 1, 2, 4

Por lo tanto, verificar los siguientes numeros racionales:

\pm \frac{1}{1 , 2 , 4}

\frac{1}{2}

es la raíz de la expresión, por lo tanto, factorizar

2 u - 1

= (2 u - 1) \frac{4 u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

\frac{4 u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 2 u^{2} + 2 u + 1

\frac{4 u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

Dividir

\frac{4 u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{2 u - 1} : \frac{4 u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 2 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

4 u^{3} + 2 u^{2} - 1

y el divisor

2 u - 1 : \frac{4 u ^{3}}{2 u} = 2 u^{2}

Cociente = 2 u^{2}

Multiplicar

2 u - 1

por

2 u^{2} : 4 u^{3} - 2 u^{2}

Substraer

4 u^{3} - 2 u^{2}

4 u^{3} + 2 u^{2} - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 4 u^{2} - 1

Por lo tanto

\frac{4 u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 2 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

= 2 u^{2} + \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1}

Dividir

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1} : \frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 2 u + \frac{2 u - 1}{2 u - 1}

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

4 u^{2} - 1

y el divisor

2 u - 1 : \frac{4 u ^{2}}{2 u} = 2 u

Cociente = 2 u

Multiplicar

2 u - 1

por

2 u : 4 u^{2} - 2 u

Substraer

4 u^{2} - 2 u

4 u^{2} - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 2 u - 1

Por lo tanto

\frac{4 u ^{2} - 1}{2 u - 1} = 2 u + \frac{2 u - 1}{2 u - 1}

= 2 u^{2} + 2 u + \frac{2 u - 1}{2 u - 1}

Dividir

\frac{2 u - 1}{2 u - 1} : \frac{2 u - 1}{2 u - 1} = 1

Dividir los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador

2 u - 1

y el divisor

2 u - 1 : \frac{2 u}{2 u} = 1

Cociente = 1

Multiplicar

2 u - 1

por

1 : 2 u - 1

Substraer

2 u - 1

2 u - 1

para obtener un nuevo residuo

Residuo = 0

Por lo tanto

\frac{2 u - 1}{2 u - 1} = 1

= 2 u^{2} + 2 u + 1

= 2 u^{2} + 2 u + 1

= (2 u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1)

= - (2 u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1)

- (2 u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1) = 0

Utilizando el teorema de factor cero: si

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

2 u - 1 = 0 or 2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Resolver

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Mover

1

al lado derecho

2 u - 1 = 0

Sumar

1

a ambos lados

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

2 u = 1

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

2 u = 1

Dividir ambos lados entre

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplificar

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

Resolver

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 2, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

Simplificar

2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 : 2 i

2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} - 8

Aplicar las propiedades de los numeros imaginarios:

- a = i a

= i 8 - 2^{2}

- 2^{2} + 8 = 2

- 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= - 4 + 8

Sumar/restar lo siguiente:

- 4 + 8 = 4

= 4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

\frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 + 2 i}{4}

Factorizar

- 2 + 2 i : 2 (- 1 + i)

- 2 + 2 i

Reescribir como

= - 2 \cdot 1 + 2 i

Factorizar el termino común

2

= 2 (- 1 + i)

= \frac{2 ( - 1 + i )}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{- 1 + i}{2}

Reescribir

\frac{- 1 + i}{2}

en la forma binómica:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

\frac{- 1 + i}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

u = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

\frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 - 2 i}{4}

Factorizar

- 2 - 2 i : - 2 (1 + i)

- 2 - 2 i

Reescribir como

= - 2 \cdot 1 - 2 i

Factorizar el termino común

2

= - 2 (1 + i)

= - \frac{2 ( 1 + i )}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{1 + i}{2}

Reescribir

- \frac{1 + i}{2}

en la forma binómica:

- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

- \frac{1 + i}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + i}{2} = - (\frac{1}{2}) - (\frac{i}{2})

= - (\frac{1}{2}) - (\frac{i}{2})

Quitar los parentesis:

(a) = a

= - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Las soluciones son

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2} :

Sin solución

cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2} :

Sin solución

cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

tan^{2} (x) - 1 = 4 cos (x)

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

\frac{2 π}{3} + 2 πn :

Falso

\frac{2 π}{3} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{2 π}{3} + 2 π 1

Multiplicar

tan^{2} (x) - 1 = 4 cos (x)

por

x = \frac{2 π}{3} + 2 π 1

tan^{2} (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) - 1 = 4 cos (\frac{2 π}{3} + 2 π 1)

Simplificar

2 = - 2

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

\frac{4 π}{3} + 2 πn :

Falso

\frac{4 π}{3} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{4 π}{3} + 2 π 1

Multiplicar

tan^{2} (x) - 1 = 4 cos (x)

por

x = \frac{4 π}{3} + 2 π 1

tan^{2} (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) - 1 = 4 cos (\frac{4 π}{3} + 2 π 1)

Simplificar

2 = - 2

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

\frac{π}{3} + 2 πn :

Verdadero

\frac{π}{3} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{π}{3} + 2 π 1

Multiplicar

tan^{2} (x) - 1 = 4 cos (x)

por

x = \frac{π}{3} + 2 π 1

tan^{2} (\frac{π}{3} + 2 π 1) - 1 = 4 cos (\frac{π}{3} + 2 π 1)

Simplificar

2 = 2

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

\frac{5 π}{3} + 2 πn :

Verdadero

\frac{5 π}{3} + 2 πn

Sustituir

n = 1

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

Multiplicar

tan^{2} (x) - 1 = 4 cos (x)

por

x = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

tan^{2} (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) - 1 = 4 cos (\frac{5 π}{3} + 2 π 1)

Simplificar

2 = 2

\Rightarrow Verdadero

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Ejemplos populares

(10)/(sin(30))= 3/(sin(b))

\frac{10}{sin ( 3 0 ^{\circ} )} = \frac{3}{sin ( b )}

tan(θ/2-pi/6)=-1,0<= θ<2pi

tan (\frac{θ}{2} - \frac{π}{6}) = - 1, 0 \leq θ < 2 π

arctan(x+2)-arctan(x+1)= pi/4

arctan (x + 2) - arctan (x + 1) = \frac{π}{4}

3cos(2x)=1

3 cos (2 x) = 1

cos^2(x)=(1+sin(x))(1-cos(x))

cos^{2} (x) = (1 + sin (x)) (1 - cos (x))